Analysis of free vibrations of cantilever bars with parabolically variable cross-sections using the Rayleigh’s method

Abstract

The Rayleigh's method can be used to determine the first natural frequency of bars (beams or posts) with non-uniform cross-section. The authors have analysed slender bars made of an elastic material and having the shape of a solid of revolution: a curvilinear truncated cone and curvilinear conical pipe. It has been assumed that the bar axis deflected during vibrations has a shape of a beam deflected by a static constant continuous load. The Rayleigh's method has been applied in the paper in aim to determine the first frequency of free (transverse) vibrations of posts formed as a cantilever bars having the shape of solid and hollow curvilinear truncated cone with the generatrix being a parabola which is convex in relation to the cone axis. The results of calculations are very close to those obtained with finite element method (FEM).

Власні Коливання Консольних Суцільних Стержнів І Пустотілих Тіл Обертання

“…Metoda Rayleigh'a okazała się przydatna do określenia pierwszej częstości poprzecznych drgań własnych prętów o kształcie tak pełnego, jak i drążonego stożka ściętego, z tworzącymi w postaci linii prostej albo paraboli wklęsłej [10] lub wypukłej [11] względem wzdłużnej osi stożka. Porównanie energii kinetycznej i potencjalnej przy założeniu, że kształt osi obojętnej pręta uginającego się pod wpływem drgań jest taki sam, jak kształt osi obojętnej pręta uginającego się pod wpływem obciążenia statycznego o stałej wartości rozłożonego w sposób ciągły, umożliwia określenie pierwszej częstości drgań własnych z dokładnością dostateczną dla obliczeń inżynierskich.…”

“…Porównanie energii umożliwia określenie tej częstości. Wyrażenia podcałkowe są bardzo złożone -tym bardziej, jeśli dotyczą drążonego pręta wspornikowego [10,11]. Dlatego całkowanie zastąpiono sumowaniem.…”

First natural frequency of multi-segment floor joists with variable cross section

“…Making this assumption, Jaworski, Szlachetka and Aguilera-Cortés (2015) analysed cantilever bars with variable cross sections -error of obtained results is small, thus this method can be applied in practice. Such approach was applied to analyse of vibrations of a solid and hollow truncated cone (conical pipe) with generatrices having the shape of straight line and concave parabola as well as convex parabola (Szlachetka, Jaworski & Chalecki, 2017). According to these papers, differences between the results obtained by means of this approach and those obtained with FEM do not exceed 3%.…”