Analytic-Numerical Approach to Solving Singularly Perturbed Parabolic Equations with the Use of Dynamic Adapted Meshes

Lukyanenko, D. V.; Volkov, V. S.; Nefedov, N.N.; Schneider, К. R.

doi:10.18255/1818-1015-2016-3-334-341

Cited by 11 publications

(3 citation statements)

References 11 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…An analytical study of the solution is an effective means of overcoming these difficulties. The asymptotic methods used in this work, in particular Vasil'eva's algorithm [10] and the asymptotic method of differential inequalities [31,32], allow us to determine, up to a small parameter, the position of the transition layer and the equation of its motion [27][28][29], and to substantiate the existence of a solution of the considered type and thereby confirm the reliability of numerical calculations.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 72%

Asymptotic Expansion Regularization for Inverse Source Problems in Two-Dimensional Singularly Perturbed Nonlinear Parabolic PDEs

Dmitrii Chaikovskii,

Aleksei Liubavin,

Ye Zhang

2023

CSIAM-AM

View full text Add to dashboard Cite

In this paper, we develop an asymptotic expansion-regularization (AER) method for inverse source problems in two-dimensional nonlinear and nonstationary singularly perturbed partial differential equations (PDEs). The key idea of this approach is the use of the asymptotic-expansion theory, which allows us to determine the conditions for the existence and uniqueness of a solution to a given PDE with a sharp transition layer. As a by-product, we derive a simpler link equation between the source function and first-order asymptotic approximation of the measurable quantities, and based on that equation we propose an efficient inversion algorithm, AER, for inverse source problems. We prove that this simplification will not decrease the accuracy of the inversion result, especially for inverse problems with noisy data. Various numerical examples are provided to demonstrate the efficiency of our new approach.

show abstract

Section: Introductionmentioning

confidence: 72%

Asymptotic Expansion Regularization for Inverse Source Problems in Two-Dimensional Singularly Perturbed Nonlinear Parabolic PDEs

Dmitrii Chaikovskii,

Aleksei Liubavin,

Ye Zhang

2023

CSIAM-AM

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Результат может быть использован для создания численного алгоритма, основанного на применении асимптотического анализа с целью построения пространственно-неоднородных сеток при описании внутреннего слоя контрастной структуры [8,9]. Рис.…”

Section: примерunclassified

On a Singularly Perturbed Problem of the Nonlinear Thermal Conductivity in the Case of Balanced Nonlinearity

Давыдова¹,

Zakharova²

2018

Model. anal. inf. sist.

View full text Add to dashboard Cite

Аннотация. На основе модифицированного асимптотического метода пограничных функций и асимптотического метода дифференциальных неравенств исследуется вопрос о существовании устойчивых по Ляпунову стационарных решений с внутренними слоями уравнения нелинейной теплопроводности в случае нелинейной зависимости мощности тепловых источников от температуры. Обсуждаются основные условия существования таких решений, построение асимптотического приближения решения произвольного порядка точности, алгоритм определения положения поверхности перехода, в окрестности которой локализован внутренний слой контрастной структуры, и обоснование формальных построений. Основная трудность связана с описанием поверхности перехода. Предлагается эффективный алгоритм определения положения поверхности перехода, который развивает наш подход в описании многомерных задач на более сложный случай сбалансированной нелинейности. Результат может быть использован для создания численного алгоритма, основанного на применении асимптотического анализа с целью построения пространственно-неоднородных сеток при описании внутреннего слоя решения. В качестве иллюстрации рассматривается задача на плоскости, которая позволяет визуализировать численные расчеты. Сравниваются численные и асимптотические решения нулевого порядка при различных значениях малого параметра.

show abstract

“…Численное решение таких задач встречает определенные сложности, связанные с выбором сеток и начальных условий. Для решения этих проблем наиболее успешным является использование аналитических методов [10][11][12][13]. Асимптотический анализ с использованием алгоритма Васильевой [14], проведенный в настоящей работе, позволяет определить условия существования решения вида фронта, а также получить асимптотическое приближение решения, которое можно выбрать в качестве начального условия для численного алгоритма.…”

Section: Introductionunclassified

Asymptotic Approximation of the Solution of the Reaction-Diffusion-Advection Equation with a Nonlinear Advective Term

Антипов¹,

Левашова²,

Nefedov³

2018

Model. anal. inf. sist.

View full text Add to dashboard Cite

Аннотация. В работе рассматривается решение вида движущегося фронта начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения реакция-диффузия-адвекция в полосе с периодическими условиями по одной из переменных. Особенностями настоящей работы является постановка задачи в двумерной области и наличие большого адвективного слагаемого в исходном уравнении. Интерес к решениям вида фронта связан с задачами горения или нелинейных акустических волн. В области определения функции, описывающей движущийся фронт, содержится подобласть, в которой функция обладает большим градиентом. Эта подобласть называется внутренним переходным слоем. Задачи с внутренними переходными слоями содержат естественный малый параметр, равный отношению ширины переходного слоя к ширине рассматриваемой области. Наличие малого параметра при старшей производной по пространственным координатам делает задачу сингулярно возмущенной. Численное решение таких задач встречает определенные сложности, связанные с выбором сеток и начальных условий. Для решения этих проблем наиболее успешным является использование аналитических методов. Асимптотический анализ с использованием алгоритма Васильевой, проведенный в настоящей работе, позволяет определить условия существования решения вида фронта, а также получить асимптотическое приближение решения, которое можно выбрать в качестве начального условия для численного алгоритма. Кроме того, аналитические методы, использованные в работе, позволяют выписать уравнение для кривой, в области которой локализован фронт. Эти сведения могут быть полезными для разработки математических моделей или численных алгоритмов для решения задач вида реакция-диффузияадвекция. Ключевые слова: задача реакция-диффузия-адвекция, двумерный движущийся фронт, внутренний переходный слой, асимптотическое представление, малый параметр

show abstract

Analytic-Numerical Approach to Solving Singularly Perturbed Parabolic Equations with the Use of Dynamic Adapted Meshes

Cited by 11 publications

References 11 publications

Asymptotic Expansion Regularization for Inverse Source Problems in Two-Dimensional Singularly Perturbed Nonlinear Parabolic PDEs

Asymptotic Expansion Regularization for Inverse Source Problems in Two-Dimensional Singularly Perturbed Nonlinear Parabolic PDEs

On a Singularly Perturbed Problem of the Nonlinear Thermal Conductivity in the Case of Balanced Nonlinearity

Asymptotic Approximation of the Solution of the Reaction-Diffusion-Advection Equation with a Nonlinear Advective Term

Contact Info

Product

Resources

About