Analytical Multi-Point Trajectory Generation for Differentially Flat Systems with Output Constraints

Abstract

Abstract:In this paper, an analytical off-line multi-point trajectory generation scheme is presented for differentially flat systems. For control of dynamical systems along a given set of control points, multi-point trajectory generation is required when input and state constraints exist. It is assumed that differential constraints for flat coordinates can be formulated explicitly. The trajectory scheme is based on analytically solving a set of polynomial equations to parameterize n-times continuously differentiable segmented transition polynomials, that approximate time optimal trajectories. The computational effort for determining valid trajectories is low in comparison to numerical optimization. As an example, a multi-point trajectory generation problem for a 3-DOF gantry crane is presented.

Performance study for an acoustic-inertial close range navigation system used in minimally-invasive surgical interventions

“…5 shows the trajectories of the coordinates of the quaternion q that represents the orientation of the instrument. All trajectories are polynomial ones and sufficiently smooth in order to derive the signals for acceleration and angular velocity, which are used as the output of the IMU for simulation purposes [19]. The acceleration and angular velocity signals, including noise, are depicted in Figs.…”

About the applicability of flat systems theory in analysis and control of nonlinear systems

“…Tài liệu [23] giới thiệu một ứng dụng khác của lý thuyết hệ phẳng vào bài toán thiết kế bộ điều khiển truyền thẳng (hình H4) để hệ phẳng (50) có tín hiệu ra phẳng y y y(t) bám theo được tín hiệu mẫu y y y m (t) thích hợp cho trước. Đây là bài toán mở rộng hơn của bài toán chuyển đổi điểm làm việc từ y y y m (0) = y y y 0 tới y y y m (t) = y y y T mà ta đã xét ở Mục 3.4 trước đây.…”

“…Bộ điều khiển phản hồi có nhiệm vụ làm hệ ổn định và bộ điều khiển truyền thẳng là để đầu ra phẳng y y y(t) của hệ phẳng (50) bám theo được tín hiệu mẫu y y y m (t). Tất nhiên rằng hệ không thể điều khiển bám theo được mọi tín hiệu mẫu bất kỳ, do đó tài liệu [23] Sau khi đã có y m (t), bộ điều khiển truyền thẳng ở hình 4 sẽ sử dụng hàm ngược u m = β β β(Y Y Y n ) của công thức (3) định nghĩa về hệ phẳng để có u m (t).…”

“…Có thể thấy bản chất của bài toán điều khiển bám của tài liệu [23] lại là chuyển về bài toán chuyển đổi điểm làm việc, nhưng cho từng đoạn một, tính từ y m (t k ) = P k tới y m (t k+1 ) = P k+1 , k = 0, 1, ..., M − 1 trong khoảng thời gian ∆T , trong đó bài toán chuyển đổi điểm làm việc đã được giải quyết ở Mục 3.5. Ngoài ra điều kiện y (i) m (t) ∞ ≤ c i bổ sung thêm cũng chỉ là để đảm bảo hệ có tín hiệu đầu ra bị chặn, chứ không có ý nghĩa nhiều về bản chất phẳng của hệ (53).…”

“…Điểm khác biệt duy nhất của bài toán trong [23] là thay vì bậc trơn q + 1 lần của tín hiệu ra phẳng y m (t) thì nay lại là n lần, đúng bằng bậc mô hình (53). Tuy nhiên ta sẽ thấy ở đây điều kiện đó là tương đương với tính tuyến tính hóa chính xác được của hệ (53) bằng bộ điều khiển tĩnh, thiết kế theo công cụ hình học vi phân [13,19,21], vì khi hệ đã có bậc vi phân q = n − 1 trong công thức định nghĩa (3) thì với mô hình chuẩn của Isidori [13], nó cũng sẽ có bậc tương đối r = n. Bởi vậy, khi đã có q = n − 1, hệ (53) sẽ điều khiển tuyến tính hóa chính xác được.…”