Anaytical methods for calculation of the short-range order in alloys: II. Numerical accuracy study

Abstract

The numerical accuracy of the analytical approximations elaborated in part I and of a variety of other approximations advanced to date is examined, accepting the data on the short-range order parameters obtained by the Monte Carlo method as a standard. The approximations exhibiting the most promise for description of actual alloys and other lattice systems (for instance, interstitial alloys, semiconductors and magnetics) including those with a long-range character of atomic interactions are revealed. It is stated that, in the framework of the lattice gas model within a modified thermodynamic perturbation theory, the choice of the inverse effective number of atoms interacting with one fixed atom as a small parameter of the cumulant expansion along with taking account of the contributions from only linked irreducible diagrams ensures the fastest convergence of expansion. It is demonstrated that the use of the grand canonical ensemble yields the highest numerical accuracy in the statistical-thermodynamic description within the framework of all approximations elaborated in part I.

Direct and Indirect Methods of the Analysis of Interatomic Interaction and Kinetics of a Relaxation of the Short-Range Order in Close-Packed Substitutional (Interstitial) Solid Solutions

“…Однак, навіть в рамках «сферичної» моделі неможливо описати явище температурної залежності положення максимуму фур'є-компонент параметрів близь-кого порядку в оберненому просторі (наприклад, для Cu-Au, Cu-Pd) у випадку незалежності енергії взаємодії атомів в сплаві від температури (тобто у такому сплаві, для якого можна знехтувати внесками у міжато-мну взаємодію ефектів розмірної невідповідності й магнетизму компо-нентів та теплового розширення кристалічної решітки). Тож Р. В. Че-пульський провів узагальнення «кільцевого» наближення [125,[129][130][131][132][133][134]327], що базується на об'єднанні методу термодинамічних флук-туацій [2,128] та термодинамічної теорії збурень [50,143,145,173,174,314,334], і застосував його у випадках наявності не лише короткосяж-ної та парної, але й далекосяжної [310,326] і багатоатомної [137,138] взаємодії довільного порядку. Таке наближення дозволяє обчислюва-ти термодинамічний потенціал в межах моделі решіткового газу й дос-ліджувати кристалічні сплави у рамках моделі Ізінга [134].…”

“…Чисельне порівняння цього «узагальнюючого» наближення в [327] з попередніми наближеннями Чепульського [39,[130][131][132][133], Токара-Масанського-Грищенка [182], «сферичної» моделі [143] та з моделюванням за методом Монте-Карло нібито свідчить про напрочуд вищу чисельну точність нового наближення. Проте його ана-літичний вигляд (у порівнянні з [131]) і спосіб виведення (на основі [131]) потребують подальшого послідовного обгрунтування в рамках одного й лише одного великого канонічного ансамблю (чи то іншого ек-вівалентного рівноважного ансамблю), але в термінах адекватних са-ме цьому ансамблю спряжених термодинамічних змінних і обмежень на сумування по «ланцюгових» вузлах решітки (в дусі розв'язання про-блеми врахування «вилученого об'єму» [141,142]) [143,314,345].…”

Statistical Thermodynamics of the Substitutional Short-Range Atomic Order and Kinematics of the Diffuse Scattering of Radiations in (Para)Magnetic F.C.C.-Ni–Fe Alloys

“…To our knowledge, the most fruitful theoretical methods are as follow: Tahir-Kheli method [14], cluster variation method (CVM) [15][16][17], spherical model (SM) [18,19], Onsager cavity field (OCF) method [20,21] and other advanced first-principles approaches [22][23][24][25][26][27][28], inverse Monte Carlo (IMC) [29] method and its linearized (LIMC) [30] version, Vaks-Zein-Kamyshenko cluster-field (CF) approach [31][32][33], Tokar-Masanskii-Grishchenko theory (based on the 'gamma' expansion method (GEM)) [34][35][36][37], alphaexpansion (AE) methods including high-temperature methods (HTM) [38][39][40][41]. Also, a series of quite new approaches was developed on the basis of the so-called 'ring' approximation [42][43][44][45][46][47][48][49][50][51][52][53][54][55] and recently on the basis of the self-consistent-field (SCF) and mean-SCF (MSCF) approximations' approach (taking into account strong interrelations between magnetic and atomic subsystems of an alloy) [56...…”

First-principles theory of the temperature and compositional dependence of atomic short-range order in disordered Cu-Pd alloys

“…To describe the temperature dependence of the splitting, we use an accurate and simple analytical ring approximation developed by one of us and co-workers. [23][24][25][26][27][28][29] This approximation has been shown to be able to describe the temperature dependence of the positions of SRO peaks for simpler models even with constant atomic interactions [30][31][32] ͑in contrast to the widely used Krivoglaz-Clapp-Moss 33-35 and spherical model 13,21,24,25,36 -40 approximations͒. Within the ring approximation, it is possible to take into account the long-range contributions to the atomic interactions without major complications ͑in contrast to the cluster-variation 41 and Monte Carlo 42 methods͒, because it is the lattice Fourier transform of the effective atomic interactions which appears in the formalism.…”

“…This is important for the description of such a sensitive effect as splitting of the SRO peaks in wavevector space about a symmetry point because it requires a large number of SRO parameters in direct space. 7,12,15 The advantage of the ring approximation compared to the analytical ␥-expansion 13 and ␣-expansion 14 methods is that ͑at the same or higher numerical accuracy 26,28,43 ͒ we have to solve only one simple nonlinear integral equation ͓see below Eq. ͑11͔͒ instead of the complicated system of equations as in the ␥-expansion method.…”