Application of modified conversion method to a nonlinear dynamical system

Abstract

Язык статьи -русский Ссылка для цитирования: Мельников Г.И., Иванов С.Е., Мельников В.Г., Малых К.С. Применение модифицированного метода преобразований к нелинейной динамической системе // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Том 15. № 1. С. [149][150][151][152][153][154] Аннотация. Рассматривается математическая модель динамической системы с одной степенью свободы, представ-ленная в виде обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными частями в форме многочленов с посто-янными и периодическими коэффициентами. Представлен модифицированный метод для исследования автоколеба-ний нелинейных механических систем. Авторами разработан уточненный метод преобразования и интегрирования уравнения, основанный на методе нормализации Пуанкаре-Дюлака. Уточнение метода заключается в учете нелиней-ных членов высших порядков методом экономизации Чебышева, что улучшает точность результатов вычислений. Выполняется аппроксимация остаточных членов высших порядков однородными формами меньших порядков, в рассмотренном случае кубическими формами. В качестве примера рассмотрено применение модифицированного метода для уравнения Ван-дер-Поля и получены выражения для амплитуды и фазы автоколебаний в аналитическом виде. Выполнено сравнение решения уравнения Ван-дер-Поля, найденного разработанным методом, с точным реше-нием численным методом Рунге-Кутта. Погрешность решения модифицированным методом в два раза меньше и составляет 1%, что показывает применимость разработанного метода для исследования автоколебаний нелинейных динамических систем с постоянными и периодическими параметрами. Ключевые слова: автоколебания, нелинейные системы, экономизация Чебышева, метод Пуанкаре-Дюлака. Mechanics and Optics, 2015, vol. 15, no. 1, pp. 149-154 (in Russian) Abstract. The paper deals with a mathematical model of dynamical system with single degree of freedom, presented in the form of ordinary differential equations with nonlinear parts in the form of polynomials with constant and periodic coefficients. A modified method for the study of self-oscillations of nonlinear mechanical systems is presented. A refined method of transformation and integration of the equation, based on Poincare-Dulac normalization method has been developed. Refinement of the method lies in consideration of higher order nonlinear terms by Chebyshev economization technique that improves the accuracy of the calculations. Approximation of the higher order remainder terms by homogeneous forms of lower orders is performed; in the present case, it is done by cubic forms. An application of the modified method for the Van-der-Pol equation is considered as an example; the expressions for the amplitude and the phase of the oscillations are obtained in an analytical form. The comparison of the solution of the Van-der-Pol equation obtained by the developed method and the exact solution is performed. The error of the solution obtained by the modified method equals to 1%, which shows applicability of the developed method for analysis of self-o...

Stability of nonlinear dynamical system motion under constantly acting perturbations

“…Оценим отрицательный квадратичный многочлен (2) . Сопоставим квадратичному неравенству (5) интегрируемое в квадратурах экспоненциальное дифференциальное неравенство.…”

“…Рассматривается механическая система с малыми постоянно действующими возмущениями, математическая модель которых представлена дифференциальными уравнениями многочленной структуры [1][2][3][4]. Для исследования линейных систем Н.Н.…”