Approximation by Solutions of Elliptic Equations

Abstract

Let \Omega \subset \mathbb R^n be a bounded, smooth domain, \Gamma a closed, smooth, (n-1) -dimensional surface with boundary in the interior of \Omega and V an open subset of the boundary \partial \Omega . In \Omega we consider a properly elliptic differential operator L of order 2m with smooth coefficients. Let (B_1, \dots, B_m) be normal system of boundary operators on \partial \Omega , which fulfils the classical root condition. L_V(\Gamma) denote the space of the restrictions on \Gamma of the functions from L_V(\Omega) = \{u \in C^\infty \Omega \colon Lu = 0 \; \mathrm {in}\; \Omega, \; B_1u|_{\partial \Omega} = \cdots = B_mu|_{\partial \Omega} = 0 \; \mathrm {in} \; \partial \Omega \; \backslash \; V\}. It is proved that L_V(\Gamma) is dense in the space W_p^{2m-1/p} (\Gamma) (p > 1) .

Approximation durch Lösungen partieller Differentialgleichungen

“…Eine wesentlich neud Qñalitat wurde erreicht, als Koritaktatifgaben mit berücksichtigt wurden [26,29] und die Losungsdarstellung durch Potentiale (statt durch die -Greenschen Funktionen)-berüeksiehtigt vurde. Bei der \T [3,4] in Zusammenhang tit ' der Arbeit [1] In einer nenen Arbeit von U. HAMANN und G. \VTLI)Ex1IN [14] gelingt es, die Approximation sogar irn Raurn W 2mh IP(J') , p > 1, zu zeigen. Da.bei werden als Beweismethodik die funktionalanal5'tischen Sätze uber Spüren (Einschrankung der Losung auf I') und cine geschiekte-Definition einer Bilinearforin zu W ,2"1-1/p und dem Dualraurn ausgenut'zt.…”

Zur Approximation in Sobolev‐Räumen durch Lösungen elliptischer Randwertprobleme

“…DieserSatzverallgemeinertTheorem 1 aus [4] (Dichtheit vonLc(Z',,-l) in W?-(''P)(I',,-,) in zwei Richtungen:…”

“…Bezuglich einiger Beweisschritte und Hilfsmittel (z. B. GREENsche Funktion) wird auf [4] verwiesen. I n [4] sind weiterhin auch eine Reihe von Arbeiten zur Approximationsproblematik angefuhrt.…”