Asymptotic and limiting profiles of blowup solutions of the nonlinear Schr�dinger equation with critical power

Abstract

This paper is a sequel to previous ones 38, 39, 41. We continue the study of the blowup problem for the nonlinear Schrödinger equation with critical power nonlinearity (NSC). We introduce a new idea to prove the existence of a blowup solution in H1(ℝN) without any weight condition and reduce the problem to a kind of variational problem. Our new method refines the previous results concerning the asymptotic and limiting profiles of blowup solutions: For a certain class of initial data, the blowup solution behaves like a finite superposition of zero‐energy, H1‐bounded, global‐in‐time solutions of (NSC); these singularities stay in a bounded region in ℝN, and one can see that the so‐called shoulder emerges outside these singularities as suggested by some numerical computations (see, e.g., [26]). We investigate the asymptotic behavior of zero‐energy, global‐in‐time solutions of (NSC) and find that such a solution behaves like a “multisoliton.” However, it is not an assemblage of free “particles”; the “solitons” interact with each other. © 1999 John Wiley & Sons, Inc.

О точной константе в одном неравенстве Соболева - Ниренберга и ее приложении к уравнению Шрeдингера

“…c ⃝ Ш. М. Насибов, 2009 Отметим, что изучению различных свойств решений задачи (1), (2) посвя-щено довольно много статей (имеется хороший, хотя не полный, список литера-туры в [8]). В случае ρ = 4/n свойствам решений при их коллапсе посвящены работы М. Тсутсуми, Ф. Мерле, М. И. Вайнштейна, Я. Тсутсуми, В. А. Страуса, П. Л. Лионса и других (см.…”

“…В случае ρ = 4/n свойствам решений при их коллапсе посвящены работы М. Тсутсуми, Ф. Мерле, М. И. Вайнштейна, Я. Тсутсуми, В. А. Страуса, П. Л. Лионса и других (см. список литературы в работе [8]). …”

“…Далее интегрируем по x, применяя первую формулу Грина, затем выделяем реальную часть от обеих частей полученного равенства, в результате получаем (4). Доказательство со-отношений (6), (7) можно найти в [5], [8]- [13]. § 2.…”

“…с константой c 0 χ. Теперь покажем, что из неравенства (9) вытекает неравенство (8). Приме-ним (9) к функции η(x) = v(λx), где λ -некоторый положительный параметр, который будет выбран ниже.…”

“…если в (13) положить λ = λ 0 , то получим неравенство (8). Тем самым мы показали, что из (9) следует неравенство (8).…”