Asymptotic Behavior of the Steklov Eigenvalues For the p−Laplace Operator

Pinasco, Juan Pablo

doi:10.1515/ans-2007-0301

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“…As for the Steklov eigenvalues, it is natural to conjecture that

\begin{equation} \lim _{k\rightarrow +\infty }\frac{|\partial \Omega |^{\frac{p-1}{n-1}}\sigma _{p,k}}{k^{\frac{p-1}{n-1}}}=C_S(p,n), \end{equation}

with

C_S(p,n)&gt;0

depending only on p and n . Asymptotic estimates (i.e., holding for

k\geqslant k_{\Omega }

) in the spirit of Friedlander have been established in [22].…”

Section: Introduction and Statement Of The Main Resultsmentioning

confidence: 99%

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Upper bounds for the Steklov eigenvalues of the p ‐Laplacian

Provenzano

2022

Mathematika

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In this note, we present upper bounds for the variational eigenvalues of the Steklov 𝑝-Laplacian on domains of ℝ 𝑛 , 𝑛 ⩾ 2. We show that for 1 < 𝑝 ⩽ 𝑛 the variational eigenvalues 𝜎 𝑝,𝑘 are bounded above in terms of 𝑘, 𝑝, 𝑛 and |𝜕Ω| only. In the case 𝑝 > 𝑛 upper bounds depend on a geometric constant 𝐷(Ω), the (𝑛 − 1)-distortion of Ω which quantifies the concentration of the boundary measure. We prove that the presence of this constant is necessary in the upper estimates for 𝑝 > 𝑛 and that the corresponding inequality is sharp, providing examples of domains with boundary measure uniformly bounded away from zero and infinity and arbitrarily large variational eigenvalues.M S C 2 0 2 0 35P15 (primary), 35P30, 58J50 (secondary) INTRODUCTION AND STATEMENT OF THE MAIN RESULTSLet Ω be a bounded domain (i.e., an open connected set) in ℝ 𝑛 , 𝑛 ⩾ 2, with Lipschitz boundary 𝜕Ω, and let 𝑝 > 1. We consider the following Steklov eigenvalue problem

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“…As for the Steklov eigenvalues, it is natural to conjecture that

\begin{equation} \lim _{k\rightarrow +\infty }\frac{|\partial \Omega |^{\frac{p-1}{n-1}}\sigma _{p,k}}{k^{\frac{p-1}{n-1}}}=C_S(p,n), \end{equation}

with

C_S(p,n)&gt;0

depending only on p and n . Asymptotic estimates (i.e., holding for

k\geqslant k_{\Omega }

) in the spirit of Friedlander have been established in [22].…”

Section: Introduction and Statement Of The Main Resultsmentioning

confidence: 99%

“…with 𝐶 𝑆 (𝑝, 𝑛) > 0 depending only on 𝑝 and 𝑛. Asymptotic estimates (i.e., holding for 𝑘 ⩾ 𝑘 Ω ) in the spirit of Friedlander have been established in [22].…”

mentioning

confidence: 99%

Upper bounds for the Steklov eigenvalues of the p ‐Laplacian

Provenzano

2022

Mathematika

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“…with C S (p, n) > 0 depending only on p and n. Asymptotic estimates (i.e., holding for k ≥ k Ω ) in the spirit of Friedlander have been established in [22].…”

Section: Introduction and Statement Of The Main Resultsmentioning

confidence: 99%

Upper bounds for the Steklov eigenvalues of the $p$-Laplacian

Provenzano¹

2021

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In this note we present upper bounds for the variational eigenvalues of the Steklov p-Laplacian on domains of R n , n ≥ 2. We show that for 1 < p ≤ n the variational eigenvalues σ p,k are bounded above in terms of k, p, n and |∂Ω| only. In the case p > n upper bounds depend on a geometric constant D(Ω), the (n − 1)-distortion of Ω which quantifies the concentration of the boundary measure. We prove that the presence of this constant is necessary in the upper estimates for p > n and that the corresponding inequality is sharp, providing examples of domains with boundary measure uniformly bounded away from zero and infinity and arbitrarily large variational eigenvalues.

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“…4.4), los pobladores antiguos observaban los solsticios y los equinoccios, y los templos kotosh estaban «entre los ejemplos conocidos más tempranos del Nuevo Mundo» (1986: 76). Para el caso de periodos posteriores se ha propuesto el alineamiento de muros respecto de astros como el Sol y la Luna, así como constelaciones que sirvieron como «mapas» para su construcción en el sitio de Pachacamac, en la costa central del Perú, si bien hay una carencia de datos que sustenten estos planteamientos (Pinasco 2007). Además de dichos alineamientos de muros, se propuso, sin mayor evidencia, que un gran número de estructuras de ese complejo eran posibles «observatorios».…”

Section: Alineamientos Astronómicos Prehispánicosunclassified

La tradición religioso-astronómica en Buena Vista

Benfer

Ojeda²,

Duncan

et al. 2007

BOLARQ

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Desde hace mucho tiempo, diversos investigadores han postulado un carácter marítimo, en vez de agrícola, para los orígenes de la civilización en la costa central del Perú. Este modelo ha sido subsecuentemente modificado a la luz del hallazgo de nuevas evidencias para incluir el intercambio con comunidades agrícolas establecidas en los valles medios. Una pregunta clave en relación con este tema concierne a la causa de la súbita aparición de sitios con arquitectura monumental antes de la introducción de la cerámica en la costa central andina. Los trabajos recientes reclaman mayores refinamientos para esta hipótesis, por lo que los autores presentan aquí nuevas pruebas: el hallazgo de templos calendáricos muy antiguos, un tipo de "ushnus" que sirvieron de observatorios en el valle del Chillón. Se postula aquí que el estímulo para la intensificación de la producción de alimentos factibles de almacenaje requeridos por una población en continua expansión fue la convulsión climática ocurrida a fines del Optimum Climaticum en el tercer milenio a.C. Estos observatorios marcaron fechas de gran importancia práctica tanto para la producción agrícola como marítima. De esta manera, los sacerdotes-astrónomos pasaron a administrar la arquitectura y el arte figurativo en el valle del Chillón del Periodo Precerámico Tardío. Estos poderosos individuos, que poseían viviendas especiales en el sitio, adquirieron un poder que pudo haber reemplazado la dimensión de la familia/ayllu. La complejidad de los observatorios en Buena Vista no tiene precedentes en las Américas, pero el poder ejercido por estos primeros sacerdotes-astrónomos pudo haber sido precariamente sostenido; en ese sentido, una inundación no prevista podría haber destruido su credibilidad. En todo caso, los ushnus de este complejo muestran que se desarrolló una amplia variedad de instrumentos astronómicos: un dispositivo de observación, la mirada fija de una escultura de barro con rasgos antropomorfos, un mecanismo de captura de fotones en una cámara especial, así como el alineamiento de entradas y escaleras. El despliegue de esta tradición astronómica se da en una etapa muy compleja de desarrollo hacia 2000 a.C. en el sitio de Buena Vista.

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Asymptotic Behavior of the Steklov Eigenvalues For the p−Laplace Operator

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La tradición religioso-astronómica en Buena Vista

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