Autour d'une conjecture de Serge Lang

Abstract

IntroductionManinet Mumford ont pos6, fi peu pr6s au m~me moment, la question suivante : <~Une courbe de genre au moins deux poss6de-t-elle un nombre fini de points de torsion dans sa jacobienne?>>. Dans [20] (voir aussi [21]), Serge Lang a g6n6ralis6 cette question en conjecturant que l'intersection d'une sous-vari6t6 alg6brique d'une vari6t6 ab61ienne avec ses points de torsion est d6crite par un nombre fini de translat6s de sous-groupes alg6briques; il ajoutait qu'on pouvait poser la m~me conjecture sur un tore lin6aire et plus g6n6ralement sur une extension d'une vari6t6 ab61ienne par un tore.La question de Maninet Mumford a 6t6 r6solue affirmativement par Michel Raynaud [30] en utilisant notamment la r6duction <<modp2>>; il a 6galement prouv6 la conjecture de Lang, pour une vari6t6 ab61ienne, dans [3 i] -les premiers r6sultats dans cette direction 6tant dus fi Bogomolov [4]. Michel Laurent [24] a ensuite prouv6 la conjecture pour un tore lin6aire. La partie principale du pr6sent travail consiste fi 6tablir le th6or6me suivant: <~Soit V une sous-vari6t6 alg6brique d'un groupe alg6brique commutatif G d6fini sur C, alors V contient un nombre fini de translat6s de sous-groupes alg6briques contenant tousles points de torsion de G situ6s sur V> Remarquons qu'on peut esp6rer que cette conjecture soit vraie pour une extension d'une vari6t6 ab61ienne par un tore, mais qu'il est indispensable d'exclure la pr6sence de groupes de type t13, : ils n'introduisent pas de nouvelle torsion et ne pertubaient pas les premiers 6nonc6s mais il est 6vident par exemple qu'une vari6t6 affine peut contenir une infinit6 de points rationnels ou m6me entiers sans contenir de ligne droite. La conjecture a 6t6 prouv6 par M. Laurent [24] pour un tore linbaire en utilisant le th6or6me du sous-espace de W. Schmidt. Raynaud dans [32] a observ6 que dans le cas d'une sous-vari6t6 d'une vari6t6 ab61ienne, si V ne contient pas de translat6 de sous-vari6t6 ab61ienne non triviale, alors la conjecture r6sulterait de l'6nonc6 a priori plus faible obtenue en remplaCant A par un sous-groupe de type fini (ce qui d6montre la conjecture, pour les courbes, d'apr6s les travaux de Faltings). Nous nous proposons d'6tendre le r6sultat de Raynaud aux sous-vari6t6s d'un produit d'une vari6t6 ab61ienne par un tore, en levant la restriction g6omdtrique. Ici nous utiliserons des r6sultats fins de Ribet sur la th6orie de Kummer sur les vari6t6s ab61iennes (voir [33]). Nous indiquons aussi comment cette d6monstration s'8tend aux extensions de A par ~,, dans le cas o6 A ne rencontre pas les points d'ordre infini param6trisant l'extension.Signalons aussi que Raynaud d6montre aussi darts [32] essentiellement la conjecture de Lang ~sur les corps de fonctions)~, toujours dans le cas o/l la sousvari6t6 consid6r6e ne contient pas de translat6e de sous-vari6t6 ab61ienne (voir le dernier paragraphe pour un 6conc6 pr6cis ainsi qu'une application de ce r6sultat).Le plan de ce travail est le suivant: Les deux premiers paragraphes contiennent divers pr61iminaires; le premier rap...

O-minimality and the André-Oort conjecture for C^n

“…division points of the trivial subgroup) weak forms of the conjecture go back to Chabauty (see Lang [49]), while proofs of it in the simplest case of plane curves, due to Ihara-Serre-Tate, are given in [48]. For X = E 1 × · · · × E m × G our result is a special case of Hindry's theorem [42] affirming the torsion point case of Lang's conjecture for subvarieties of commutative group varieties. MM became part of the Mordell-Lang conjecture (ML, proved by Faltings, Vojta,.…”

On the rank of the fibers of rational elliptic surfaces

“…In [Hindry 1988], Hindry defines a point as being indivisible if it is indivisible by all natural numbers m > 1. One can replace this definition by the one introduced above, that is, P indivisible by m in the hypothesis of [Hindry 1988, Lemme 14].…”

“…One can replace this definition by the one introduced above, that is, P indivisible by m in the hypothesis of [Hindry 1988, Lemme 14]. In fact, let P be a point indivisible by m. We can write P = [l]P 1 with P 1 indivisible as in [Hindry 1988] and (l, m) = 1. There exist u, v ∈ ‫ގ‬ such that ul + vm = 1, which allows us to write…”

Intersection de courbes et de sous-groupes et problèmes de minoration de hauteur dans les variétés abéliennes C.M.

“…On simplifie pour conclure. Pour le point 2, il s'agit du point (ii) du lemme 6 de [14] et le point 3 correspond au point (ii) du lemme 2.1. de [10].…”

“…Pour le point 2, les composantes de Φ étant admissibles, on voit (cf. [14], Lemme 6 (iii)) que V est incomplètement définie par des équations de degré majoré par…”