On the rank of the fibers of rational elliptic surfaces

Salgado, Cecília

doi:10.2140/ant.2012.6.1289

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“…In [Sal12], Salgado studies the problem of comparing the rank of the special fibers over a number field k with that of the generic fiber over k(P 1 ). She proves for a large class of rational elliptic surfaces the existence of infinitely many fibers whose rank exceeds the generic rank of at least 2.…”

Section: Previous Resultsmentioning

confidence: 99%

On the density of rational points on rational elliptic surfaces

Desjardins

2019

Acta Arith.

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Let E → P 1 Q be a non-trivial rational elliptic surface over Q with base P 1 Q (with a section). We conjecture that any non-trivial elliptic surface has a Zariski-dense set of Q-rational points. In this paper we work on solving the conjecture in case E is rational by means of geometric and analytic methods. First, we show that for E rational, the set E (Q) is Zariski-dense when E is isotrivial with non-zero j-invariant and when E is non-isotrivial with a fiber of type II * , III * , IV * or I * m (m ≥ 0). We also use the parity conjecture to prove analytically the density on a certain family of isotrivial rational elliptic surfaces with j = 0, and specify cases for which neither of our methods leads to the proof of our conjecture.

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On the density of rational points on rational elliptic surfaces

Desjardins

2019

Acta Arith.

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“…Le théorème 3. k . (iii) Lorsque la surface X est k-rationnelle, sous certaines hypothèses supplémentaires sur X, C. Salgado [15] montre que l'ensemble des k-points m ∈ U (k) avec r m ≥ r + 2 est infini. Un énoncé plus général est obtenu par Loughran et Salgado [9] : il porte sur les surfaces elliptiques géométriquement rationnelles.…”

Section: Saut Du Rangunclassified

“…(iv) Dans [7], M. Hindry et C. Salgado étendent un certain nombre des résultats de [15] au cas des familles de variétés abéliennes sur la droite projective. Leur théorème 1.4 est maintenant un cas particulier du théorème 3.3 ci-dessus.…”

Section: Saut Du Rangunclassified

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Point générique et saut du rang du groupe de Mordell-Weil

Colliot-Thélène¹

2019

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Soient k un corps de nombres et U une k-variété lisse intègre. Soit X → U une famille de variétés abéliennes. On établit les énoncés suivants. Si la k-variété X est dominée par une k-variété qui satisfait l'approximation faible faible, par exemple si X est k-unirationnelle, alors l'ensemble R des kpoints de U dont la fibre a un rang de Mordell-Weil strictement plus grand que celui de la fibre générique est dense pour la topologie de Zariski de U . Si X est k-rationnelle, alors R n'est pas mince dans U . Ceci généralise des résultats de Billard et de Salgado. L'idée principale de la démonstration, idée qui remonte à la thèse de Néron [13], est d'utiliser le point générique de la fibre générique de la famille, et d'appliquer ensuite le théorème de spécialisation de Néron. Dans l'appendice, on voit comment la méthode du point générique donne des résultats de Billing, de Néron, et de Holmes et Pannekoek.

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Non-thin rank jumps for double elliptic K3 surfaces

Pasten,

Salgado

2024

manuscripta math.

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For an elliptic surface $$\pi :X\rightarrow \mathbb {P}^1$$ π : X → P 1 defined over a number field K, a theorem of Silverman shows that for all but finitely many fibres above K-rational points, the resulting elliptic curve over K has Mordell-Weil rank at least as large as the rank of the group of sections of $$\pi $$ π . When X is a K3 surface with two distinct elliptic fibrations, we show that the set of K-rational points of $$\mathbb {P}^1$$ P 1 for which this rank inequality is strict, is not a thin set, under certain hypothesis on the fibrations. Our results provide one of the first cases of this phenomenon beyond that of rational elliptic surfaces.

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On the rank of the fibers of rational elliptic surfaces

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On the density of rational points on rational elliptic surfaces

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