Bounds on the Ljapunov Exponent

Abstract

We present a pedagogical model where the strict positivity of the largest Ljapunov exponent is easily derivable and the exponent can be calculated explicitly. Further, we prove an inequality concerning the Ljapunov exponents of k-forms and compare the Ljapunov exponent of a one-dimensional Schrodinger operator, corresponding to a random substitutional alloy, with those of the attached periodic Hamiltonians, yielding a new characterization for the possible energy levels in this model. Schranken fur den Ljapunov-ExponentenInhaltsiibersicht. Wir stellen ein piidagogisches Modell vor, fur das die echte Positivitit des grol3ten Ljapunov-Exponenten leicht herleitbar ist und das die explizite Berechnung des Exponenten zuliil3t. Ferner beweisen wir eine Ungleichung fur die Ljapunov-Exponenten von k-Formen und vergleichen den Ljapunov-Exponenten eines eindimensionalen Schrodingeroperators, der zu einem zufilligen Mischkristall gehort, mit jenen der zugehijrigen periodischen Hamiltonian, wodurch wir eine neue Charrtkterisierung der moglichen Energieniveaus in diesem Modell erhalten.

Special energies and special frequencies

“…Thereby, the key for a uniform treatment of (1), ( 8) and the discrete Schrodinger operator consists in the possibility of representing the solutions of all these models by transfer matrices (cf., e.g. [27]). If y satisfies H ω y = Ey as a differential equation then we have with the random transfer matrix T ω{n) e {T u T 2 } corresponding to the two types of potentials V t or V 2 , respectively.…”