Clark–Ocone type formula for non-semimartingales with finite quadratic variation

Abstract

We provide a suitable framework for the concept of finite quadratic variation for processes with values in a separable Banach space B using the language of stochastic calculus via regularizations, introduced in the case B = R by the second author and P. Vallois. To a real continuous process X we associate the Banach valued process X(·), called window process, which describes the evolution of X taking into account a memory τ > 0. The natural state space for X(·) is the Banach space of continuous functions on [−τ, 0]. If X is a real finite quadratic variation process, an appropriated Itô formula is presented, from which we derive a generalized Clark-Ocone formula for non-semimartingales having the same quadratic variation as Brownian motion. The representation is based on solutions of an infinite dimensional PDE. RésuméNous présentons un cadre adéquat pour le concept de variation quadratique finie lorsque le processus de référence està valeurs dans un espace de Banach séparable B. Le langage utilisé est celui de l'intégrale via régularisations introduit dans le cas réel par le second auteur et P. Vallois.À un processus réel continu X, nous associons le processus X(·), appelé processus fenêtre, quià l'instant t, garde en mémoire le passé jusqu'à t − τ. L'espace naturel d'évolution pour X(·) est l'espace de Banach B des fonctions continues définies sur [−τ, 0]. Si X est un processus réelà variation quadratique finie, nousénonçons une formule d'Itô appropriée de laquelle nous déduisons une formule de ClarkOcone relativeà des non-semimartingales réelles ayant la même variation quadratique que le mouvement brownien. La représentation est basée sur des solutions d'une EDP infini-dimensionnelle.Keywords: Calculus via regularization, Infinite dimensional analysis, Clark-Ocone formula, Itô formula, Quadratic variation, Hedging theory without semimartingales. 2010 MSC: 60H05, 60H07, 60H30, 91G80. Version française abrégéeDans cette Note nous développons un calcul stochastique via régularisation de type progressif (forward) lorsque le processus intégrateur X està valeurs dans un espace de Banach séparable B. Ceci est basé sur une notion sophistiquée de variation quadratique que nous appellerons χ-variation quadratique, où le symbole χ correspondà un sous-espace La théorie de l'intégration infini-dimensionnelle par rapportà des martingales (ou des semimartingales, [5,11,7]) n'est pas appliquable, même lorsque l'intégrateur est la fenêtre W(·) associée au mouvement brownien standard W. Au-delà des difficultés qui viennent du fait que C( [−τ, 0] n'est pas réflexif, W(·) n'est d'aucune manière une semimartingaleà valeurs dans C( [−τ, 0]). Motivés par des applications liéesà la couverture d'options dépendant de toute la trajectoire, nous discutons une formule de type Clark-Ocone visantà décomposer une classe significative h de v.a. dépendant de la trajectoire d'un processus X dont la variation quadratique vaut [X] t = t. Cette formule généralise des résultats inclus dans [15,1,3] visantà déterminer des formules de valor...

About classical solutions of the path-dependent heat equation

“…In this paper we focus on classical solutions of the path-dependent heat equation with two types of terminal conditions. In reality this work updates [6,7], somehow a pioneering (never published) work of the authors, which formulated similar results in a Hilbert framework.…”

Infinite dimensional weak Dirichlet processes and convolution type processes

“…Elements of calculus via regularization were extended to (real) Banach space valued processes in a series of papers, see e.g. [8,9,10,11]. Two classical notions of stochastic calculus in Banach spaces, which appear in [28] and [13] are the scalar 2 and tensor quadratic variations.…”

Functional and Banach Space Stochastic Calculi: Path-Dependent Kolmogorov Equations Associated with the Frame of a Brownian Motion

“…This new branch of stochastic calculus has been recently conceived and developed in many directions in [12,[14][15][16]; for more details see [13]. For the particular case of window processes, we also refer to Theorem 6.3 and Sect.…”

“…In the present subsection our aim is to make a link between functional Itô calculus, as derived in this paper, and Banach space valued stochastic calculus via regularization for window processes, which has been conceived in [13], see also [12,[14][15][16] …”

“…For example, in [8] a slightly more restrictive definition of strong-viscosity solution was adopted, see Remark 12. Recently, a new branch of stochastic calculus has appeared, known as functional Itô calculus, which results to be an extension of classical Itô calculus to functionals depending on the entire path of a stochastic process and not only on its current value, see Dupire [17], Cont and Fournié [5][6][7]. Independently, Di Girolami and Russo, and more recently Fabbri, Di Girolami, and Russo, have introduced a stochastic calculus via regularizations for processes taking values in a separable Banach space B (see [12][13][14][15][16]), including the case B = C([−T, 0]), which concerns the applications to the path-dependent calculus.…”