Classification of Integrable Equations on Quad-Graphs. The Consistency Approach

Abstract

A classification of discrete integrable systems on quad-graphs, i.e. on surface cell decompositions with quadrilateral faces, is given. The notion of integrability laid in the basis of the classification is the threedimensional consistency. This property yields, among other features, the existence of the discrete zero curvature with a spectral parameter. For all integrable systems of the obtained exhaustive list, the so called three-leg forms are found. This establishes Lagrangian and symplectic structures for these systems, and the connection to discrete systems of the Toda type on arbitrary graphs. Generalizations of these ideas to the three-dimensional integrable systems and to the quantum context are also discussed.

Relativistic collisions as Yang–Baxter maps

“…This is a discrete version of the potential modified KdV equation originally presented in [12] and corresponds under a gauge tranformation to H 3 equation in [1] for δ = 0. The latter equation follows directly from the YB map (10) by setting x = w k+1,l w k,l , y = w k+1,l+1 w k+1,l , u = w k+1,l+1 w k,l+1 and v = w k,l+1 w k,l .…”

Рекурсионные Операторы, Законы Сохранения И Условия Интегрируемости Для Разностных Уравнений

“…Уравнение Виале характеризуется как интегрируемое, поскольку его алгебраическая энтропия обращается в нуль [21], в то время как инте-грируемость уравнений АБС следует из их 3D-совместности [18]. Мы покажем, что эти уравнения являются интегрируемыми также в том смысле, что они допускают бесконечные иерархии симметрий, которые могут быть построены при помощи ре-курсионных операторов.…”

“…где k -кососимметричная функция решеточных параметров, а f -симметричный и биквадратный многочлен по u и x [18]. Многочлены f (u, x; α) для уравнений АБС перечислены в приложении.…”

“…Для каждого уравнения в классификации АБС [18] мы приведем здесь определя-ющий многочлен Q, соответствующий выбор для параметров a i из (1), соответству-ющие многочлен f и множитель k из (40), гамильтонов оператор H и затравочную (корневую) симметрию иерархии. Уравнение Q4, известное как уравнение Адлера, мы приводим в виде, взятом из работы [39].…”

“…В качестве критерия интегри-руемости на квадратной решетке (или квад-уравнений) для разностных уравнений было предложено [15], [16] свойство 3D-совместности, или совместности по сторо-нам куба [17]. Все интегрируемые аффинно-линейные квад-уравнения (удовлетво-ряющие некоторым дополнительным условиям симметрии относительно отражений решетки) были проклассифицированы Адлером, Бобенко и Сурисом (АБС) [18] (см. также [19]).…”