Codes in Dihedral Group Algebra

Abstract

Аннотация. В 1978 году Р. Мак-Элисом построена первая асимметричная кодовая криптосистема, основанная на применении помехоустойчивых кодов Гоппы, при этом эффективные атаки на секретный ключ этой криптосистемы до сих пор не найдены. К настоящему врмени известно достаточно много кодовых криптосистем, но их криптографическая стойкость уступает стойкости классической криптосистемы Мак-Элиса. В связи с развитием квантовых вычислений кодовые криптосистемы рассматриваются как альтернатива теоретико-числовым, поэтому актуальной представляется задача поиска перспективных классов кодов для построения новых стойких кодовых криптосистем. Для этого можно использовать некоммутативные коды, т.е. идеалы в групповых алгебрах F q G над конечными некоммутативными группами G. Ранее изучалась стойкость криптосистем на кодах, индуцированных кодами на подгруппах. Важной для исследования некоммутативных кодов является теорема Веддерберна, доказывающая существование изоморфизма групповой алгебры на прямую сумму матричных алгебр, но конкретный вид слагаемых и конструкция изоморфизма этой теоремой не определены, и поэтому для каждой группы остается задача построения представления Веддерберна. Ф. Е. Б. Мартинесом получено полное представление Веддерберна для групповой алгебры F q D 2n над диэдральной группой D 2n в случае, когда мощность поля и порядок группы взаимно просты. С использованием этих результатов в настоящей работе исследуются коды в групповой алгебре F q D 2n. Решена задача о структуре всех кодов и описана структура кодов, которые индуцированы кодами над циклическими подгруппами группы D 2n , что представляет интерес для криптографических приложений.

Some properties of dihedral group codes

“…Algebraic description of the codes in F q D 2n , when gcd(q, 2n) = 1, was obtained in [12], [14]. In this section the codes in F q D 2n are explicitly described in the more general case when gcd(q, n) = 1.…”

“…Let S be a subset of A j ; by S j we denote S j = ǫ j (S). Recall that P j ǫ j = id Aj and P j ǫ i = 0 for i = j (see (12)). Note that…”

“…Earlier, in [12] the authors solved the problem of describing the codes in semisimple group algebra F q D 2n in the case when gcd(q, 2n) = 1; in order to do this the Wedderburn decomposition of F q D 2n , which was obtained in [13], was used. In [14] the connection between the codes in F q D 2n and the idempotents of F q D 2n was established in the semisimple case; also the inverse Wedderburn decomposition isomorphism was explicitly described.…”

Структура Конечной Групповой Алгебры Одного Полупрямого Произведения Абелевых Групп И Её Приложения

“…Algebraic approach to error-correcting codes gives some benefits, i.e. additional algebraic structure helps to study more efficient encoding and decoding algorithms for known codes (see for example [8]) and to discover new classes of codes in group algebras ( [9], [10], [11]).…”

“…There are several results on how to construct the Wedderburn decomposition and central primitive idempotents known (see [16], [17] ). In [18] the Wedderburn decomposition of finite dihedral group algebra was described and in [11] this decomposition was used to study the dihedral codes.…”