Аннотация. В 1978 году Р. Мак-Элисом построена первая асимметричная кодовая криптосистема, основанная на применении помехоустойчивых кодов Гоппы, при этом эффективные атаки на секретный ключ этой криптосистемы до сих пор не найдены. К настоящему врмени известно достаточно много кодовых криптосистем, но их криптографическая стойкость уступает стойкости классической криптосистемы Мак-Элиса. В связи с развитием квантовых вычислений кодовые криптосистемы рассматриваются как альтернатива теоретико-числовым, поэтому актуальной представляется задача поиска перспективных классов кодов для построения новых стойких кодовых криптосистем. Для этого можно использовать некоммутативные коды, т.е. идеалы в групповых алгебрах F q G над конечными некоммутативными группами G. Ранее изучалась стойкость криптосистем на кодах, индуцированных кодами на подгруппах. Важной для исследования некоммутативных кодов является теорема Веддерберна, доказывающая существование изоморфизма групповой алгебры на прямую сумму матричных алгебр, но конкретный вид слагаемых и конструкция изоморфизма этой теоремой не определены, и поэтому для каждой группы остается задача построения представления Веддерберна. Ф. Е. Б. Мартинесом получено полное представление Веддерберна для групповой алгебры F q D 2n над диэдральной группой D 2n в случае, когда мощность поля и порядок группы взаимно просты. С использованием этих результатов в настоящей работе исследуются коды в групповой алгебре F q D 2n. Решена задача о структуре всех кодов и описана структура кодов, которые индуцированы кодами над циклическими подгруппами группы D 2n , что представляет интерес для криптографических приложений.

No abstract

We investigate the firmness of code noising to the statistical analysis of the evesdropped messages of repeated repetition. We give a structural description of the model of secured data transmission and construct an information analytical model of the observer. The formula for computing amount of volume, necessary for distinguishing alternative hypothesis with given errors of first and second sorts by sample of codewords is obtained.

Рассматривается группа Гейзенберга $\mathbb H_n$ с нормой Кораньи. В пространстве $L_2(\mathbb H_n)$ вводятся интегральные операторы с однородными ядрами компактного типа и мультипликативно слабо осциллирующими коэффициентами. Для $C^*$-алгебры с единицей $\mathfrak W(\mathbb H_n)$, порожденной такими операторами, строится символическое исчисление, и в его терминах формулируются необходимые и достаточные условия фредгольмовости операторов из $\mathfrak W(\mathbb H_n)$.

В 1978 году Р. Мак-Элисом построена первая асимметричная кодовая криптосистема, основанная на применении помехоустойчивых кодов Гоппы, при этом эффективные атаки на секретный ключ этой криптосистемы до сих пор не найдены. К настоящему времени известно много криптосистем, основанных на теории помехоустойчивого кодирования. Одним из способов построения таких криптосистем является модификация криптосистемы Мак-Элиса с помощью замены кодов Гоппы на другие классы кодов. Однако, известно что криптографическая стойкость многих таких модификаций уступает стойкости классической криптосистемы Мак-Элиса. В связи с развитием квантовых вычислений кодовые криптосистемы, наряду с криптосистемамми на решётках, рассматриваются как альтернатива теоретико-числовым. Поэтому актуальна задача поиска перспективных классов кодов, применимых в криптографии. Представляется, что для этого можно использовать некоммутативные групповые коды, т.е. левые идеалы в конечных некоммутативных групповых алгебрах.Для исследования некоммутативных групповых кодов полезной является теорема Веддерберна, доказывающая существование изоморфизма групповой алгебры на прямую сумму матричных алгебр. Однако конкретный вид слагаемых и конструкция изоморфизма этой теоремой не определены, и поэтому для каждой группы стоит задача конструктивного описания разложения Веддерберна. Это разложение позволяет легко получить все левые идеалы групповой алгебры, т.е. групповые коды. В работе рассматривается полупрямое произведение $$Q_{m,n} = (\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n) \leftthreetimes (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$$ абелевых групп и конечная групповая алгебра $$\mathbb{F}_q Q_{m,n}$$ этой группы. Для этой алгебры при условиях $$n \mid q -1$$ и $$\text{НОД}(2mn, q) = 1$$ построено разложение Веддербёрна. В случае поля чётной характеристики, когда эта групповая алгебра не является полупростой, также получена сходная структурная теорема. Описаны все неразложимые центральные идемпотенты этой групповой алгебры. Полученные результаты используются для алгебраического описания всех групповых кодов над $$Q_{m,n}.$$