Complete Integrability of Quantum and Classical Dynamical Systems

Abstract

It is noted that the Schrödinger equation with any self-adjoint Hamiltonian is unitary equivalent to a set of non-interacting classical harmonic oscillators and in this sense any quantum dynamics is completely integrable. Higher order integrals of motion are presented. That does not mean that we can explicitly compute the time dependence for expectation value of any quantum observable. A similar result is indicated for classical dynamical systems in terms of Koopman's approach. Explicit transformations of quantum and classical dynamics to the free evolution by using direct methods of scattering theory and wave operators are considered. Examples from classical and quantum mechanics, and also from nonlinear partial differential equations and quantum field theory are discussed. Higher order integrals of motion for the multi-dimensional nonlinear Klein-Gordon and Schrödinger equations are mentioned.

Квадратичные Законы Сохранения Уравнений Математической Физики

“…Речь идёт о квантовых системах, которые получаются в результате применения обычных правил квантования к классическим гамильтоновым системам с n степенями свободы. Такую квантовую систему считают вполне интегрируемой, если имеется n независимых эрмитовых операторов В [55] обсуждается другой подход к проблеме полной интегрируемости. Он основывается на спектральной теореме для самосопряжённого оператора Гамильтона: любая квантовая система унитарно эквивалентна набору невзаимодействующих гармонических осцилляторов и в этом смысле она будет вполне интегрируемой.…”

Об Интегрируемости Динамических Систем

“…Недавно было показано [14,15], что любая квантовая динамическая система унитарно эквивалентна набору невзаимодействующих классических гармонических осцилляторов и поэтому является вполне интегрируемой в категории гильбертовых пространств. В частности, всегда имеются высшие интегралы движения.…”

“…Системой осцилляторов будем называть пару (L 2 (X, μ), V t ), где X -измеримое пространство, μ -мера, а V t -оператор умножения на функцию exp(−itω x ), где ω x , x ∈ X, -вещественнозначная функция на X (см. [14,15]). Тогда по спектральной теореме квантовая динамическая система унитарно эквивалентна системе осцилляторов.…”

“…Используя эту конструкцию, можно предъявить набор интегралов движения для исходного гамильтониана H (см. [14,15]).…”

“…Однако унитарный оператор W , диагонализующий гамильтониан H, строится недостаточно эффективно. Поэтому в [14,15] было предложено использовать для диагонализации гамильтониана волновые операторы из теории рассеяния. В настоящей работе для некоторого класса уравнений Шрёдингера доказывается, что они обладают высшими интегралами движения.…”