Complete surfaces with ends of non positive curvature

Abstract

The classical Efimov theorem states that there is no C 2 -smoothly immersed complete surface in R 3 with negative Gauss curvature uniformly separated from zero. Here we analyze the case when the curvature of the complete surface is less that −c 2 in a neighborhood of infinity, and prove the surface is topologically a finitely punctured compact surface, the area is finite, and each puncture looks like cusps extending to infinity, asymptotic to rays.

Around Efimov’s differential test for homeomorphism

“…Similar result is also proved for Lorentz 3-space H 3 1 of constant curvature −1. In Gálvez et al (2015a), the authors study complete surfaces in R 3 with Gauss curvature satisfying the inequality K ≤ const < 0 in a neighborhood of infinity. They prove that such a surface is topologically a finitely punctured compact surface, its surface area is finite, and each puncture is a cusp extending to infinity, asymptotic to a ray.…”

Complete surfaces with non-positive extrinsic curvature in H3 and S3Gálvez1, Martínez2, Teruel3 2015Journal of Mathematical Analysis and ApplicationsSelf Cite7220View full textAdd to dashboardCite

“…Actually, in [5], we have proved that a complete surface in R 3 with negative Gauss curvature uniformly separated from zero in a neighborhood of infinity, is topologically a finitely punctured compact surface, has finite area and each puncture looks like cusps extending to infinity, asymptotic to rays (see also [14]). …”

Pares de codazzi em superfícies de variedades homogêneas

“…Inspirados pelos trabalhos de José Gálvez, Antonio Martínez e José Teruel em [21] e [20], estudaremos pares de Codazzi em superfícies e seus invariantes associados, tais como as curvaturas principais, a curvatura média, a curvatura extrínseca e a diferencial de Hopf. Veremos a partir destes trabalhos que a teoria de pares de Codazzi é uma ferramenta vantajosa, uma vez que, a partir de um resultado abstrato para pares de Codazzi em superfícies, serão apresentados resultados tipos Milnor e Emov para superfícies em H 3 e S 3 .…”

“…O capitulo 2 é dedicado ao estudo dos trabalhos [21] e [20]. Instigado pelos trabalhos de Hilbert, apresentaremos inicialmente o Teorema de Emov, no qual nos diz que nenhuma superfície pode ser imersa no espaço Euclidiano tridimensional, tal que na métrica induzida, seja completa e tenha curvatura Gaussiana K ≤ const < 0.…”

“…Entre os problemas abertos mencionaremos a Conjectura de Jonh Milnor. Estudaremos a seguinte solução parcial da conjectura de Milnor, obtida por Smyth e Xavier (ver [20], [29]): ψ : Σ −→ R 3 uma superfície imersa isometricamente de curvatura não positiva. Se uma das suas funções curvaturas principais k 2 i satisfaz k 2 i ≥ const > 0, então ψ(Σ) é um cilindro generalizado em R 3 .…”