Computing the Wedderburn decomposition of group algebras by the Brauer–Witt theorem

Olteanu, Gabriela

doi:10.1090/s0025-5718-07-01957-6

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“…We will need to compute the Wedderburn decomposition of QG for some finite groups. For that we use the method introduce in [OdRS04] which was extended in [Olt07] and implemented in the GAP package wedderga [BCKO + 13]. We introduce the main lines of this method now (see [OdRS04] for details).…”

Section: Notation Preliminaries and Some Toolsmentioning

confidence: 99%

On the Congruence Subgroup Problem for integral group rings

Caicedo¹,

Río²

2013

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Let G be a finite group, ZG the integral group ring of G and U(ZG) the group of units of ZG. The Congruence Subgroup Problem for U(ZG) is the problem of deciding if every subgroup of finite index of U(ZG) contains a congruence subgroup, i.e. the kernel of the natural homomorphism U(ZG) → U(ZG/mZG) for some positive integer m. The congruence kernel of U(ZG) is the kernel of the natural map from the completion of U(ZG) with respect to the profinite topology to the completion with respect to the topology defined by the congruence subgroups. The Congruence Subgroup Problem has a positive solution if and only if the congruence kernel is trivial. We obtain an approximation to the problem of classifying the finite groups for which the congruence kernel of U(ZG) is finite. More precisely, we obtain a list L formed by three families of finite groups and 19 additional groups such that if the congruence kernel of U(ZG) is infinite then G has an epimorphic image isomorphic to one of the groups of L. About the converse of this statement we at least know that if one of the 19 additional groups in L is isomorphic to an epimorphic image of G then the congruence kernel of U(ZG) is infinite. However, to decide for the finiteness of the congruence kernel in case G has an epimorphic image isomorphic to one of the groups in the three families of L one needs to know if the congruence kernel of the group of units of an order in some specific division algebras is finite and this seems a difficult problem.

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Section: Notation Preliminaries and Some Toolsmentioning

confidence: 99%

On the Congruence Subgroup Problem for integral group rings

Caicedo¹,

Río²

2013

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“…Examples of strongly monomial groups are abelian-by-supersolvable groups [3]. All monomial groups of order smaller than 1000 are strongly monomial and the smallest monomial non-strongly-monomial group is a group of order 1000, the 86-th one in the library of the GAP system [4,5].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Group rings of finite strongly monomial groups: Central units and primitive idempotents

et al. 2013

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We compute the rank of the group of central units in the integral group ring ZG of a finite strongly monomial group G. The formula obtained is in terms of the strong Shoda pairs of G. Next we construct a virtual basis of the group of central units of ZG for a class of groups G properly contained in the finite strongly monomial groups. Furthermore, for another class of groups G inside the finite strongly monomial groups, we give an explicit construction of a complete set of orthogonal primitive idempotents of QG.Finally, we apply these results to describe finitely many generators of a subgroup of finite index in the group of units of ZG, this for metacyclic groups G of the form G = C q m ⋊ C p n with p and q different primes and the cyclic group C p n of order p n acting faithfully on the cyclic group C q m of order q m .

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“…Em [16], Olteanu apresentou uma construção alternativa ao Teorema de Brauer-Witt em termos de caracteres fortemente monomiais, o que viabilizou um algoritmo para a computação das componentes de Wedderburn de álgebras de grupo semissimples finitas e em [12], Olteanu e Van Gelder apresentaram um algoritmo capaz de encontrar idempotentes primitivos em componentes simples em termos de Pares Shoda para grupos nilpotentes. Outros trabalhos destacam-se na teoria como por exemplo os de Broche e del Rio [3], [9] Jespers, e [17] Olteanu.…”

Section: Sumáriounclassified

“…Um par de Shoda de G é um par (H, K) de subgrupos de G com a propriedade que K H, H/K Abeliano, tal que um caractere linear irredutível de H com núcleo K induz um caractere irredutível de G. Como descrito em [16], há um antigo teorema de Shoda cujo resultado fornece um critério para irredutibilidade de caracteres monomiais, sabemos que (H, K) é um Par de Shoda se, e somente se K H, H/K é cíclico e, se g ∈ G e [H, g] ∩ H ⊆ K, então g ∈ H ou seja: Definição 1.33 Seja G um grupo finito. Um par (H, K) de subgrupos de G é dito Par de Shoda se satisfaz as seguintes condições:…”

Section: Pares De Shodaunclassified

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Idempotentes primitivos em álgebras de grupo finitas e códigos minimais

Budaibes¹

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Agradeço primeiramente a toda a minha família pelo apoio e compreensão durante todos estes anos. Agradeço aos meus pais, Nilma e Elias (em sua memória), ao meu irmão Pedro e à Maria Aparecida, que cuidou de todos nós por muitos anos. Agradeço a todos os meus antepassados, pois sem eles, este momento não existiria. Agradeço ao meu orientador prof. Dr. Francisco César Polcino Milies pela oportunidade, pelas aulas ainda na graduação, onde aprendi sobre grupos, pelas aulas no mestrado, pela orientação no doutorado, e por superar meu medo de quedas no tatame, tendo-as repetido diversas e diversas vezes. Aos professores e colegas que exerceram papel fundamental com seus gestos, palavras, discussões e apoio. Obrigado ao prof. Raul Ferraz, por suas valiosas opiniões e por compartilhar de toda sua genialidade. Obrigado à Edite, José, e Renato pela boa companhia durante todo o curso, sem vocês não seria o que sou. Obrigado Samir, pelas excelentes ideias e pelas discussões. Obrigado aos colegas Andrés, Tiago, Rogério e Robson. Agradecimentos especiais também à profa. Alegria Gladys Chalom pelo suporte e por toda orientação desde a graduação. Obrigado ao prof. Edson Iwaki, o qual tive o prazer de conhecer no mestrado como professor e como orientador. Obrigado Marceli, pela compreensão, pelo suporte e pelo carinho durante esse longo e difícil período. Obrigado ao Rodrigo Ninrod por todas as conversas e por ser sempre tão suportivo. Obrigado a todos os meus amigos que compreenderam mais um período de completa ausência. Por fim, um agradecimento especial à ESEG-Escola Superior de Engenharia e Gestão pela compreensão e suporte durante este período. i ii Resumo Este trabalho apresenta alguns métodos algorítmicos para determinação de famílias completas de idempotentes primitivos em componentes simples de FG com a hipótese de uma álgebra de grupo finita. Tais métodos viabilizam a construção de códigos minimais à esquerda em FG. Eles são fortemente baseados em GAP e nós apresentaremos os algoritmos criados em detalhes.

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Computing the Wedderburn decomposition of group algebras by the Brauer–Witt theorem

Abstract: Abstract. We present an alternative constructive proof of the Brauer-Witt theorem using the so-called strongly monomial characters that gives rise to an algorithm for computing the Wedderburn decomposition of semisimple group algebras of finite groups.

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