Conformal mapping, convexity and total absolute curvature

Abstract

Abstract. Let f be a holomorphic and locally univalent function on the unit disk D. Let C r be the circle centered at the origin of radius r, where 0 < r < 1. We will prove that the total absolute curvature of f (C r ) is an increasing function of r. Moreover, we present inequalities involving the L p -norm of the curvature of f (C r ). Using the hyperbolic geometry of D, we will prove an analogous monotonicity result for the hyperbolic total curvature. In the case where f is a hyperbolically convex mapping of D into itself, we compare the hyperbolic total curvature of the curves C r and f (C r ) and show that their ratio is a decreasing function. The last result can also be seen as a geometric version of the classical Schwarz Lemma.

Equality case for an elliptic area condenser inequality and a related Schwarz type lemma

“…An area version can be found in [1] and Betsakos studied the cases of hyperbolic area radius and hyperbolic capacity in [2]. Further results were obtained more recently by other authors; see, for example, [5,8].…”

Γεωμετρικές εκδοχές λήμματος Schwarz και ημιομάδες ολόμορφων συναρτήσεων

“…The proofs of the results presented in this chapter can be found in the articles [44], [45] and [46].…”

“…Στην πορεία του Κεφαλαίου, θα δούμε κάποιες παραλλαγές του Λήμματος Schwarz που αποδείχθηκαν στην παρούσα διατριβή. Τα αποτελέσματα αυτά βρίσκονται στα άρθρα [44] και [46].…”

“…Στην παράγραφο αυτή, αλλά και σε αυτές που ακολουθούν, παρουσιάζουμε αποτελέσματα των εργασιών [44] και [46], σχετικά με την ευκλείδεια γεωμετρία του μιγαδικού επιπέδου.…”

“…Στην Παράγραφο 4.3, θα δούμε αποτελέσματα που παρουσιάζονται στις εργασίες [44] και [46], τα οποία αποτελούν γεωμετρικές παραλλαγές του Λήμματος Schwarz στην υπερβολική γεωμετρία του δίσκου. Μάλιστα, είναι τα αντίστοιχα θεωρήματα μονοτονίας των συναρτήσεων (3.1), (3.2) και (3.25).…”