Construction of spectral decomposition for non-self-adjoint friedrichs model operator

Abstract

Подано спектральний розклад для несамоспряже ної моделі Фрідріхса і наведено узагальнення відомої у самоспряженому випадку функції Вейля на неса моспряжений випадок. Встановлено, що для несамо спряженої моделі Фрідріхса довільний елемент про стору можна подати як лінійну комбінацію власних елементів оператора, що відповідають точкам спек тра. Побудовано спектральний розклад, тобто пред ставлення довільного елемента простору через влас ні функції, що свідчить про повноту власних функцій. Це зроблено з врахуванням спектральних особливос тей (тобто власних значень на неперервному спектрі) несамоспряженого оператора моделі Фрідріхса. Ця модель виступає важливим інструментом для знахо дження розв'язку звичайних диференціальних рівнянь після застосування відповідного перетворення Фур'є. Запропоновано загальний метод побудови спект рального розкладу (тобто не прив'язаний виключно до моделі Фрідріхса), який грунтується на понятті так званого розгалуження резольвенти і який можна вико ристовувати для довільних несамоспряжених опера торів, а також і для самоспряжених операторів. Доведено, що за умов існування максимального оператора, резольвента допускає відокремлення роз галуження. Вказані достатні умови для існування функції Вейля m(ζ) для оператора несамоспряженої моделі Фрідріхса та отримано формули для її обчис лення через резольвенту. Показано, що функція Вейля m(ζ) для самоспря женого оператора співпадає з класичною функцією Вейля у випадку оператора ШтурмаЛіувілля на пів осі. Наведено два приклади, в яких знайдено узагаль нену функцію Вейля m(ζ) для несамоспряженої моделі Фрідріхса Ключові слова: оператор ШтурмаЛіувілля, модель Фрідріхса, перетворення Фур'є, функція Вейля, непе рервний спектр, розгалуження резольвенти, макси мальний оператор