Construction of the bending model of micropolar elastic thin beams with a circular axis and its implementation using finite element method

Abstract

Обсуждается проблема перехода от системы двумерных уравнений микрополярной (моментной) теории упругости в тонкой криволинейной области к одномерной системе уравнений деформирования микрополярного упругого тонкого стержня с круговой осью (имеется в виду изогнутый стержень, со срединной поверхностью в виде дуги окружности). При осуществлении этого перехода применяются так называемые обобщенные на микрополярный случай гипотезы Тимошенко. Исходя из них, построена прикладная модель, описывающая напряженно-деформированное состояние при изгибе микрополярного (с независимыми полями перемещений и вращений) упругого тонкого стержня с круговой осью. Показано, что модель включает закон сохранения энергии, энергетические теоремы, вариационные принципы. Все основные функционалы построенной модели получены из функционала двумерной микрополярной теории упругости, содержащего производные перемещений и поворотов только первого порядка. Для решения граничных задач статики и динамики на основе прикладной модели изгиба микрополярного упругого тонкого стержня с круговой осью разрабатывается соответствующий вариант метода конечных элементов (МКЭ). Сформулированы основные понятия и этапы реализации модифицированного МКЭ: дискретизация, выбор основных узловых неизвестных, аппроксимация искомого решения и построение основных разрешающих уравнений. Приведены примеры конечно-элементных решений задач статического деформирования и задач о собственных колебаниях стержней с круговой осью в рамках как микрополярной, так и классической теории упругости. Выполнен сравнительный анализ решений, в результате которого установлены некоторые эффективные свойства стержней с круговой осью при рассмотрении их деформаций согласно микрополярной теории упругости. Ключевые слова: микрополярная теория упругости, стержень с круговой осью, плоский изгиб, одномерная модель, метод конечных элементов

A three-dimensional micropolar beam model with application to the finite deformation analysis of hard-magnetic soft beams

“…Extensions of micropolar theory to elasto-plasticity, for the purpose of modelling the strain localization phenomenon in plastic deformations, have been carried out in several research papers (e.g., de Borst (1993); Steinmann (1994); ; ; Bauer et al (2012b)). Various micropolar beam (Ramezani et al, 2009a;Hassanpour and Heppler, 2016;Chowdhury and Reddy, 2019;Obrezkov et al, 2022;Sargsyan and Khachatryan, 2022;La Valle and Falsone, 2023), plate (Abadikhah and Folkow, 2015;Fares et al, 2023), and shell (Eremeyev and Altenbach, 2017;Zozulya, 2018) formulations have been also developed in the literature. Additionally, the micropolar theory has been used in the modeling of granular materials, phononic crystals, lattice structures, crystal plasticity, bone mechanics, and auxetic lattices (e.g., Mayeur et al (2011) As was mentioned above, micropolar theory can model the deformation of materials subjected to body couples.…”