Coverings and fundamental algebras for partial differential equations

Abstract

Following I. S. Krasilshchik and A. M. Vinogradov, we regard PDEs as infinite-dimensional manifolds with involutive distributions and consider their special morphisms called differential coverings, which include constructions like Lax pairs and Backlund transformations. We show that, similarly to usual coverings in topology, at least for some PDEs differential coverings are determined by actions of a sort of fundamental group. This is not a group, but a certain system of Lie algebras, which generalize Wahlquist-Estabrook algebras. From this we deduce an algebraic necessary condition for two PDEs to be connected by a Backlund transformation. We compute these infinite-dimensional Lie algebras for several KdV type equations and prove non-existence of Backlund transformations. As a by-product, for some class of Lie algebras g we prove that any subalgebra of g of finite codimension contains an ideal of g of finite codimension.Comment: 50 pages. v3: considerable corrections; v4,v5: minor change

Group Foliation of Differential Equations Using Moving Frames

“…The investigation of nonmaximal rank resolving systems could also produce interesting examples. Finally, the group foliation algorithm in conjunction with inductive moving frames may provide a means for constructing coverings of differential equations [16,20].…”

Cartan’s Structure of Symmetry Pseudo-Group and Coverings for the r-th Modified Dispersionless Kadomtsev–Petviashvili Equation

“…Substitution of (12) into (11) gives a Bäcklund transformation (13) to (15). The inverse Bäcklund transformation appears from substitution of (14) into (10).…”

Алгебраические Свойства Деформаций По Гарднеру Интегрируемых Систем

“…В рамках подхода, позволяющего строить семейства систем E ε при помощи сим-метрии уравнения E, которую нельзя поднять на E ε0 при каком-либо ε 0 , алгебрам симметрий модифицированных систем E соответствуют подалгебры Ли в sym E; в частности, sym E ε0 ⊆ sym E. Аналогичное соотношение справедливо для фунда-ментальных алгебр Ли дифференциальных уравнений [21]: фундаментальные алгеб-ры уравнений E ε порождают однопараметрическое семейство подалгебр Ли в фун-даментальной алгебре уравнения E. По сути, использование модифицированных си-стем с параметром служит наиболее удобным способом вычисления этих структур для уравнений в частных производных. Подчеркнем, что деформации по Гарднеру естественным образом порождают семейства E ε и редукции m ε : E ε → E.…”