Die beiden Dodekaederr�ume

Abstract

Unter einer dreidimensionalen Raumform versteht man eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit, der e r s t e n seine sph~rische, euklidische oder hyperbolisehe Metrik aufgepr~gt ist, d.h. jeder Punkt hat eine Umgebung, die sich kongruent auf eine Vo!lkugel des sph~rischen, euklidischen oder h yperb01ischen Raumes abbilden l~Bt (Homogenit~tsbedJngung). Z w e i t e n's stellen wit an ~ine Raumform die Forderung, dab man von jedem Punkte aus in jeder Richtung einen geod~itisehen Strahl von unbesehr~nkter L~inge abtragen kann (Unendlichkeitsbedingung)t. Es wird nicht ausgeschlossen, dab der unendliche Strahl mehrfaehe Punkte hat oder in. sich selbst zuriiekkehrt.

Four dodecahedral spaces

“…Thus, by the Theorem in [1], φ~ι(G\) is the fundamental group of its orbit space, the Weber-Seifert manifold. From the given relations, it is easy to calculate that the quotient group of ^"^(Gi) over its derived group is isomorphic to C5 x C5 x C 5 , thus confirming the calculation at the end of [11]. This is the first homology group of the space.…”

“…Again, the identifications are easily calculated using FIGURE 2 The hyperbolic space CAYLEY. That arising from φ~x{G\) turns out to be the WeberSeifert manifold [3,11] and the other is illustrated in Figure 2.…”

Compact hyperbolic universe and singularities

“…A compact hyperbolic hypersurface is given as the quotient space of H 3 by the discrete subgroup Γ of its isometry group SO(3, 1). One of the simplest 3-dimensional compact hyperbolic manifold is known as the Seifert-Weber manifold [12], whose construction is explicitly shown in appendix A.…”

On Maximal Homogeneous 3-Geometries—A Polyhedron Algorithm for Space Tilings

“…Our algorithm also shows that compact non-orientable hyperbolic dodecahedron manifolds do not exist. The first compact hyperbolic dodecahedron manifold was discovered by C. Weber and H. Seifert [18]. Then L. A.…”