Distribution locale des points rationnels de hauteur bornée sur une surface de del Pezzo de degré 6

Abstract

Nous établissons une mesure décrivant de manière précise la distribution locale asymptotique des points rationnels en dehors des sous-variétés localement accumulatrice autour d'un point rationnel général sur une surface de del Pezzo de degré 6 au sens de l'approximation diophantienne.

Approximation diophantienne et distribution locale sur une surface torique

“…S. Pagelot a étudié dans [22] la distribution locale d'un Q-point sur la droite projective et sur des surfaces de del Pezzo (toriques) de degré 7. En particulier pour P 2 Q il a affirmé (pour le zoom critique) l'existence de la mesure limite attendue de masse concentrée sur les droites (ceci est redémontré dans [15]). Alors que pour P 1 × P 1 la mesure limite du zoom critique existe uniquement en ayant retiré les deux droites particulières.…”

“…Il est naturel de se poser la même question pour les points algébriques et pour les variétés de dimension supérieure. L'auteur a étudié dans [15] ce problème pour une surface de del Pezzo torique de degré 6 et il a obtenu pour le cas r = α ess (Q) une mesure limite.…”

“…Notre stratégie s'appui sur le paramétrage par des courbes nodales mentionnées précédemment, ce qui est différente de celle pour traiter l'exemple de la surface del Pezzo torique de degré 6 étudiée dans [15], où pour le zoom critique, la mesure limite existe, obtenue en utilisant le paramétrage par des droites. Quand on restreint aux courbes nodales, l'approximation du point Q revient à l'approximation d'un point algébrique quadratique, ce qui nous amène à étudier plus soigneusement la distribution locale pour les points algébriques sur la droite projective.…”

“….36)Puisque pgcd(e i f i , e j f j ) = 1 pour i = j, on vérifie que (cf. par exemple[15, Proposition 4.3]) det Λe1,e2,e3 f1,f2,f3 = g(e 1 f 1 )g(e 2 f 2 )e 3 f 3 e 1 e 2 e 3 f 1 f 2 f 3 .Quant à l'ensemble G 2 (e 1 , e 2 , e 3 , f 1 , f 2 , f 3 , a, b, ε, B, r), ses points sont contenu dans un trapèze dont la longueur du bord est O τi,ε B…”

Rational approximations on toric varieties

“…For X a variety defined over a number field K and for every fixed Q ∈ X( K), choose some distance function d ν (•, Q) with respect to some fixed place ν of K. Choose a height function H L associated to some fixed line bundle L. Then the constant α L,ν (Q, X) is defined as the infimum of positive real numbers γ such that the inequality (2) d ν (P, Q) γ H L (P ) 1, has infinitely solutions P i ∈ X(K) such that d ν (P i , Q) → 0. It measures the local behaviour via the complexity increasing of rational points when approaching the fixed point on the variety and it also plays a central role in the author's recent investigation [Hua17b] [Hua17a] [Hua18] on local distribution of rational points since it helps detect the locally accumulating subvarieties (Definition 4.3). These subvarieties contain rational points that are "closer" to the given point so that when γ is sufficiently close to α L,ν (Q, X), almost all solutions of the inequality (2) are located there.…”