Dynamics of a double physical pendulum with variable mass in dimensionless coordinates

Abstract

W artykule podjęto próbę opisu matematycznego i analizy zjawiska wymiany masy pomiędzy członami podwójnego wahadła fizycznego i jego wpływu na dynamikę układu. W badanym układzie wraz z upływem czasu następowało -pod wpływem grawitacji -zmniejszenie masy górnego członu i jednoczesne zwiększenie masy dolnego członu wahadła. Całkowita masa układu nie zmieniała się. Na potrzeby analizy wprowadzono bezwymiarowy czas i bezwymiarowe parametry, co pozwoliło na przedstawienie równań ruchu w postaci bezwymiarowej. Wykazano, że zmiana masy w układzie ma istotny wpływ na jego dynamikę. Wzrost masy dolnego członu wahadła zmniejsza amplitudę drgań. Obliczenia numeryczne przeprowadzono w programie Mathematica. SŁOWA KLUCZOWE: wymiana masy, podwójne wahadło, chaosThe article concerns considerations, whose the theme is to try to mathematical description and analysis of the study of the phenomenon of mass exchange between the members of double physical pendulum and its impact on the dynamics of the whole system. In the analyzed system, with time, under the influence of gravity, the mass of the upper member of pendulum decreases and the mass of the lower member of pendulum increases. The total mass of the system doesn't change. For the analysis introduced dimensionless time and dimensionless parameters, which allows the presentation of the equations of motion in dimensionless form. It has been shown that the change of mass in the system has a significant impact on the dynamics. The increase in mass of the lower member reduces the amplitude of vibration of the pendulum. The numerical calculations were performer in the Mathematica package. KEYWORDS: variable mass, double pendulum, chaosArtykuł stanowi kontynuację tematyki podjętej w pracach [4][5][6][7][8][9]. Wcześniejsze badania koncentrowały się na analizie wpływu zjawiska wymiany masy pomiędzy członami podwójnego wahadła (zarówno fizycznego, jak i matematycznego) na dynamikę układu. Wyniki badań przedstawiano w postaci przebiegów czasowych dla wielu różnych warunków początkowych ruchu. Celem niniejszej pracy jest próba opisu matematycznego zjawiska wymiany masy pomiędzy członami podwójnego wahadła fizycznego we współrzędnych bezwymiarowych oraz analiza wpływu tego zjawiska na dynamikę układu.Zainteresowanie układami o zmiennej masie ma źró-dło w poszukiwaniu efektów fizykalnych (mechanicznych) * Mgr inż. Rafał Kwiatkowski (kwiatkowski-rafal@o2.pl), prof. dr hab. Tadeusz J. Hoffmann (tadeuszhoffmann@wp.pl), dr hab. inż. Andrzej Kołodziej (a.kolodziej@ip.pwsz.kalisz.pl) -PWSZ w Kaliszu; dr hab. inż. Grzegorz Domek (gdomek@ukw.edu.pl) -Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy możliwych do wykorzystania w budowie tłumików drgań. Większość badań eksperymentalnych w tym zakresie zakończyła się bez większych sukcesów, o czym świadczy m.in. poziom dostępnych na rynku produktów. Ze względu na ochronę patentową brakuje też publikacji dotyczących tych badań.Jednym z powszechnych systemów zmniejszających amplitudę drgań, stosowanych głównie w budowie wieżowców i mostów oraz w branży m...

The concept of vibration damping of the variable mass assembly

“…-describes the constancy of mass. Conducted research [4][5][6][7][8][9] include the study of the motion of a double pendulum subjected to variable initial conditions. The effects of initial deflections and initial velocities given separately to the system's members were analyzed.…”

“…It is assumed that the total mass of the double pendulum is constant, however the mass flow occurs between members. The article is a continuation of the considerations discussed in the work of [4][5][6][7][8][9]. Based on previous considerations described in the works [4][5][6][7][8][9], nonlinear equations for the double physical pendulum with variable mass are derived:…”