Eigenstates of the Neumann Magnetic Laplacian with Vanishing Magnetic Field

Abstract

RemerciementsEn premier lieu, je tiens à remercier très sincèrement mes directeurs de thèse, Monique Dauge et Nicolas Raymond ; le doctorat est une belle aventure que sans eux je n'aurais pas pu vivre. Je les remercie pour toute l'énergie qu'ils ont mis dans cet encadrement, depuis la naissance du projet de thèse jusqu'à aujourd'hui. Leur présence rassurante, leur disponibilité et leur implication dans les phases de rédaction, de préparation d'exposés ou de soutenance m'ont été très précieuses. Le dynamisme de Monique et son regard avisé sur le numérique ainsi que la bonne humeur quotidienne de Nicolas et sa philosophie des mathématiques ont animé nos discussions ; les connaissances qu'ils m'ont transmises et ce que j'ai pu partager avec eux ont fait que ces trois années ont été pour moi très agréables et enrichissantes. Je leur suis également très reconnaissant d'être resté à mon écoute et d'avoir toujours agi dans mon intérêt. Grâce à eux, j'ai pu durant ma thèse aller travailler à l'Université d'Aarhus. Je savoure aujourd'hui pleinement la chance que j'ai de pouvoir y retourner. Tak ! Je remercie vivement Jean-Marc Bouclet et Hynek Kovařík d'avoir accepté de rapporter ma thèse. Je leur suis extrêmement reconnaissant du temps et du soin qu'ils ont consacré à cette tâche. Je remercie également Stéphane Nonnenmacher, Stephan De Bièvre, Françoise Truc, Christophe Cheverry et Florian Méhats qui me font le plaisir et l'honneur de venir compléter mon jury. Je souhaite également remercier tous les mathématiciens que j'ai rencontré en conférences et avec qui j'ai pu interagir. Je pense bien sûr à Bernard Helffer, pour toutes ses remarques et ses conseils avisés, mais aussi à Virginie Bonnaillie-Noël ainsi qu'à Éric Soccorsi, Philippe Briet et Julien Royer. J'ai eu le privilège -au cours de ma deuxième année de thèse -de travailler avec Søren Fournais. Je le remercie pour son accueil chaleureux, sa gentillesse et son entière disponibilité. Je suis vraiment très heureux de pouvoir commencer une collaboration avec lui. Le hasard des rencontres fait souvent bien les choses ; aurais-je eu l'idée d'aller discuter avec Monique si son thésard -qui allait soutenir -ne m'en avait pas parlé ? Je tiens à saluer Nicolas Popoff et aussi Thomas Ourmières. Je les remercie tous les deux pour les discussions que j'ai pu avoir avec eux, leurs conseils, et leur soutien.J'adresse un grand merci à Yvon Lafranche pour le temps qu'il a consacré aux simulations numériques de ma thèse. Sans sa patience et son investissement je n'aurais pas été capable de mener a bien cette partie de mon travail. Merci aussi à Oliver Garo pour l'aide qu'il a pu m'apporter a chaque petit problème informatique.J'ai pu trouver à l'IRMAR un excellent cadre de travail. Je remercie toutes les équipes (en particulier les équipes d'équations aux dérivées partielles et d'analyse numérique) de rendre cet espace aussi convivial. Un grand merci aussi à toute la bande des doctorants et post-doctorants que j'ai côtoyé. Ils ont grandement contribué à rendre ces trois années de...

On the semiclassical Laplacian with magnetic field having self-intersecting zero set

“…We can find in [28] a one term asymptotics of the first eigenvalue λ 1 (h). The paper [26] establishes a sharper result by giving an explicit control of the remainder as well as expansions of all the eigenvalues and eigenfunctions, as the semiclassical parameter h goes to 0, under suitable assumptions when the zero set of B does not self-intersect. 1.2.2.…”

“…The aforementioned papers do not investigate the case when the zero set of the magnetic field B intersects the boundary. This was the purpose of the work by Pan & Kwek [28] and [26]. We can find in [28] a one term asymptotics of the first eigenvalue λ 1 (h).…”

On estimation of the number of eigenvalues of the magnetic Schrödinger operator in a three-dimensional layer

“…It is known that (see [1][2][3][4][5][6]) at a certain value of the magnetic field strength in superconducting materials of the second kind, a surface superconducting phenomenon occurs. This kind of magnetic field is called the third critical field.…”

“…, where → A = (A 1 , A 2 , A 3 ) is the magnetic potential, various model magnetic Schrödinger operators are constructed (see [4,5,8,9]) and their eigenvalues are used, which lie to the left of the essential spectrum threshold.…”

A semiclassical Birkhoff normal form for constant-rank magnetic fields

“…It has shown very various behaviours according to the geometry of (M, g) and the variations of the magnetic field. For instance, the case of a Neumann magnetic Laplacian on a bounded domain Ω of R 2 with vanishing magnetic field was studied in [37], [11]. The first purely magnetic WKB constructions for the eigenfunctions were established in [4].…”