Eine Klasse von Verfahren zur Ermittlung bester nichtlinearer Tschebyscheff-Approximationen

Abstract

Methods for constructing best nonlinear Chebyshev approximations are discussed. It is shown that local strong unicity is sufficient to guarantee "good numerical behaviour" of the algorithms. Applications are given for approximations by splines with free knots, rational functions, and exponential sums as well as for the approximation of functions defined by differential equations.

The numerical solution of the inverse Stefan problem

“…This so-called inverse Stefan problem (ISP) has recently been treated by the author [14] by methods of nonlinear approximation theory, which were leading to an existence theorem and a characterization of an optimal boundary s* by an alternation criterion well known from Tchebychev approximation theory [16]. The essential argument for this point of view is the development of an effective procedure for the solution of nonlinear approximation problems by Osborne and Watson [19] and Cromme [11], which very well applies to the ISP.…”

“…We shall now introduce the concept of strong uniqueness which plays an important role in linear and nonlinear approximation theory [11,23] …”

Numerische Methoden zur Behandlung einiger Problemklassen der nichtlinearen Tschebyscheff-Approximation mit Nebenbedingungen

“…mit differenzierbaren Normen unterscheidet und in Theorie und Praxis eine groBe Rolle spielt. Bei den folgenden Konvergenzuntersuchungen erweist sich dieser Begriff als angemessenes Hilfsmittel zur Charakterisierung des numerischen Verhaltens der entwickelten Algorithmen, eine Beobachtung, die im Zusammenhang mit Verfahren der T-Approximation schon mehrfach gemacht wurde (Cromme [3,4], Schaback [14,15]). …”

“…In der vorliegenden Arbeit wird das in [3] vom Autor entwickelte Konzept zur Behandlung von nichtlinearen T-Approximationsproblemen auch fiir Aufgaben mit Nebenbedingungen zug~inglich gemacht. Solche T-Aufgaben mit Nebenbedingungen treten gerade bei praktischen Problemen h~iufig auf und machen das mathematische Modell ffir den Anwender erst einer sinnvollen Interpretation zug~inglich; Collatz-Krabs [2] fiihren im Zusammenhang mit Differentialgleichungen zahlreiche Beispiele auf.…”

An Algorithm for Computing Continuous Chebyshev Approximations

“…A similar idea (but different scheme) was used by Madsen [13]. The general nonlinear Chebyshev approximation problem was treated by linearizing the approximating function in [5] and [9], but with somewhat different approaches.…”