Eine Verschärfung eines Multiplizitätssatzes von D. REES

Abstract

&, m) sei ein lokaler Ring der Dimension d , k = Q/m sei unendlich und m moge nicht nur aus Nullteilern bestehen. 1st a ein m-primares Ideal, so ist fur alle naturlichen Zahlen n die Lgnge des &-Moduls &/a"+' endlich und fur groBe n ein Polynom P , (n), das inan folgendermaBen angeben kann : eo(a) ist die Multiplizitat des Idelas a. 1st b 2 a ein weiteres m-primares Ideal, so heist b eine Reduktion von a, wenn eine naturliche Zahl r existiert mit b ar = ar+l. D. REES und D. G. NORTHCOTT zeigten in [4], daB eo(b) = eo (a) 9 wenn b eine Reduktion von a ist. D. REES bewies in [8], Theorem 3.2, da13 unter der Voraussetzung ,,(&, nt) ist quasiungemischt" auch die Umkehrung gilt, d. h. wenn b S a und eo(b) = eo(a), so ist b eine Reduktion von a. Wir werden zeigen, daB dieses allgemein gilt, d. h. aus b c a und b ist keine Reduktion von a, folgt eo(b) > eo(a), also insbesondere eo(b) $1 cob). Der Beweis beruht auf den Methoden und Konstruktionen von D. REES [S]. Mit. diesen Ergebnissen kann man zeigen (Satz 3), daB kurvenaquivalente Ideale im Sinn von G. SCHEJA [9] in henselschen Ringen stets Lquivalent sind, wahrend man in beliebigen lokalen Ringen mit obigen Voraussetzungen noch b & a fordern in&. Damit hat inm echte Verallgemeinerungen der Satze 2 und 3 von SCHEJA [9]. Es genugt offenbar zu zeigen, wenn b c a, zwischen b und a lie@ kein weiteres Ideal und b ist keine Reduktion von a, so ist eo(b) > eo(a); denn wenn b c a und b = bo c bl c * * * c 6, = a eine Kompositionsreihe von m-primaren Idealen, von b nach a ist, gibt es ein i E { I , . . . , r } , so daB