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in Rost'ock (Eingegangen am 17. 12. 1976) 0. (R, M ) sei ein lokaler Ring mit der KRuLL-Dimension d (d 2 1) und dem maximalen Ideal M . Q G M sei ein eigentliches Ideal in R. In [2], Theorem 3, beweist D. KIRBY, da13 ein Element ~€ 9 " (s t 1) genau dann superfiziell vom Grad s ist, wenn fur hinreichend grol3e n die Beziehung (~) n Q ' +~= ( x )

&, m) sei ein lokaler Ring der Dimension d , k = Q/m sei unendlich und m moge nicht nur aus Nullteilern bestehen. 1st a ein m-primares Ideal, so ist fur alle naturlichen Zahlen n die Lgnge des &-Moduls &/a"+' endlich und fur groBe n ein Polynom P , (n), das inan folgendermaBen angeben kann : eo(a) ist die Multiplizitat des Idelas a. 1st b 2 a ein weiteres m-primares Ideal, so heist b eine Reduktion von a, wenn eine naturliche Zahl r existiert mit b ar = ar+l. D. REES und D. G. NORTHCOTT zeigten in [4], daB eo(b) = eo (a) 9 wenn b eine Reduktion von a ist. D. REES bewies in [8], Theorem 3.2, da13 unter der Voraussetzung ,,(&, nt) ist quasiungemischt" auch die Umkehrung gilt, d. h. wenn b S a und eo(b) = eo(a), so ist b eine Reduktion von a. Wir werden zeigen, daB dieses allgemein gilt, d. h. aus b c a und b ist keine Reduktion von a, folgt eo(b) > eo(a), also insbesondere eo(b) $1 cob). Der Beweis beruht auf den Methoden und Konstruktionen von D. REES [S]. Mit. diesen Ergebnissen kann man zeigen (Satz 3), daB kurvenaquivalente Ideale im Sinn von G. SCHEJA [9] in henselschen Ringen stets Lquivalent sind, wahrend man in beliebigen lokalen Ringen mit obigen Voraussetzungen noch b & a fordern in&. Damit hat inm echte Verallgemeinerungen der Satze 2 und 3 von SCHEJA [9]. Es genugt offenbar zu zeigen, wenn b c a, zwischen b und a lie@ kein weiteres Ideal und b ist keine Reduktion von a, so ist eo(b) > eo(a); denn wenn b c a und b = bo c bl c * * * c 6, = a eine Kompositionsreihe von m-primaren Idealen, von b nach a ist, gibt es ein i E { I , . . . , r } , so daB

1.(Q, m) sei ini folgenden stets ein d-dimensionaler lokaler Ring Q niit dem maximalen Ideal m, das nicht nur aus Nullteilern bestehen soll, und b c a zwei m-primare Ideale. Bezeichnet man mit P,(n) die Lange des Q-Moduls &/anfi, so ist P,(n) fur groBe n ein Polynom in n vom Grad d = dim Q, das man folgendermal3en angeben kann : I n Abschnitt 5 und 6 werden Beziehungen zwischen eo(a) und eo(b) (Satz 32) sowie e,(a) und e,(b) (Stitze 39 und 41) untersucht. Geeignete Hilfsmittel sind monoidale Oberringe des lokalen Ringes (Q, m) und die a-Transformierte von D. REES. Die auftretenden monoidalen Oberringe erhalt man durch Verallgemeinerung der Theorie der Nachbarschaftsringe von D. G. NORTHCOTT ([S] und [9]), die in Abschnitt 2 vorgenommen wird. Bei der Obertragung der Theorie werden bei Beweisen nur notwendige Modifikationen angegeben und im allgemeinen auf ihre Ausfuhrung verzichfet. Die wesentlichen Ergebnisse werden mit Hilfe der a-Transformierten von D. BEES erzielt. Da zwischen beiden Konstruktionen eine enge Beniehung besteht, auf die in Abschnitt 3 eingegangen wird, besitzen die Ergebnisse fur beide Ringt? pen jlquivalente Interpretationen. 2.(Q, m) sei im folgenden stets ein lokaler Ring Q mit der KRuLLdiinension d und den1 maximalen Ideal nt, das nicht nur aus Nullteilern besteht, und a ein m-primiires Ideal. Ohne Beschrgnkung der Allgenieinheit sei der Restklassenkorper k = Q/m stets unendlich. Definition 1. Ein Element x E a heiPt Oterflachenekrnent votz a vom Grad s(s >= I), wenn x E as und naturliche Zahlen no und c existieren, so da/3 f u r alle

Eingegangen am 5 . 2 . 1974) 0. (Q, m) sei im folgenden ein lokaler Ring (kommutativ, noethersch und mit Einselement) der Dimension d mit dem maximalen Ideal m. 1st M ein endlicher Q-Modul, bezeichnen wir mit L,(M) seine Lange als &-Modul. Fur ein m-primares Ideal a ist fur jede naturliche Zahl n die Lange des &-Moduls Q/a"" endlich und, falls n genugend grol3 ist, ein Polynom in n vom Grad d = dim Q, das wir folgendermal3en angeben : + * --+ (--e,(a) . eo(a) ist die Multiplizitat von a. sind, so gilt Wir werden zeigen, wenn b c a zwei verschiedene Parameterideale in (Q, m) L*(a/b) 1 eo(m) % und es gibt stets solche Parameterideale, fur die das Gleichheitszeichen zutrifft. Insbesondere erhalt man ein Kriterium fur die MultiplizitBt 1. I n COHEN-MACAULAY Ringen ergibt sich hieraus fur die Invariante i(Q) = = h,-Jq: m/q), wobei q ein Parameterideal ist, edm) 2 i(&). Die Gleichheit gilt genau dann, wenn es ein Parameterideal q gibt, so dal3 q: m ebenfalls ein Parameterideal ist. 1. Satz 1.1. (Q, m) sei ein lolcaler Ring der Dimension 1 und b c a zwei mprimare Parameterideabe. Dann gilt LQ(a/b) 2 cob) * Beweis. Sei a = (y) und b = (z), wobei z = a . y mit a € m. (a) ist dann ebenfalls m-primar. Wenn c die isolierte eindimensionale Komponente des Nullideals von Q ist, sei @ = Q/c. @ ist ein COHEN-MACAULAY Ring. Sind 3, 9 und d