Einstein submanifolds with parallel mean curvature

Onti, Christos-Raent

doi:10.1007/s00013-017-1144-y

Cited by 8 publications

(7 citation statements)

References 14 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…(see more progresses in [22]). These Einstein hypersurfaces only consist of isoparametric hypersurfaces with no more than 2 principal curvatures (except S 1 (r) × S n−1 ( √ 1 − r 2 ), 0 < r < 1) in S n+1 .…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Integral-Einstein hypersurfaces in spheres

Ge,

2021

Preprint

View full text Add to dashboard Cite

Combining the intrinsic and extrinsic geometry, we generalize Einstein manifolds to Integral-Einstein (IE) submanifolds. A Takahashi-type theorem is established to characterize minimal hypersurfaces with constant scalar curvature (CSC) in unit spheres, which is the main object of the Chern conjecture: such hypersurfaces are isoparametric. For these hypersurfaces, we obtain some integral inequalities with the bounds characterizing exactly the totally geodesic hypersphere, the non-IE minimal Clifford torus S 1 ( 1 n ) × S n−1 ( n−1 n ) and the IE minimal CSC hypersurfaces. Moreover, if further the third mean curvature is constant, then it is an IE hypersurface or an isoparametric hypersurface with g ≤ 2 principal curvatures. In particular, all the minimal isoparametric hypersurfaces with g ≥ 3 principal curvatures are IE hypersurfaces. As applications, we also obtain some spherical Bernstein theorems.

show abstract

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Integral-Einstein hypersurfaces in spheres

Ge,

2021

Preprint

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…In Chapter 5, we provide a complete classification of Einstein submanifolds in space forms with flat normal bundle and parallel mean curvature vector field. This result is contained in [48] and extends a previous result due to Dajczer and Tojeiro [21] for isometric immersions of Riemannian manifolds with constant sectional curvature.…”

Section: Introductionsupporting

confidence: 86%

Obstruction to isometric immersions

Onti¹,

Όντι²

View full text Add to dashboard Cite

Η παρούσα διατριβή χωρίζεται σε δύο μέρη:Στο πρώτο μέρος, (Κεφάλαια 2, 3 και 4) αποδεικνύουμε φράγματα, που εξαρτώνται από τους αριθμούς Betti, για ολοκληρωτικές καμπυλότητες συμπαγών υποπολυπτυγμάτων του Ευκλειδείου χώρου, με χαμηλή συνδιάσταση. Ως συνέπεια,(i) Υπολογίζουμε την ομολογία των σχεδόν σύμμορφα ισόπεδων (almost conformallyflat) υπερεπιφανειών σε πλήρη και απλά συνεκτικά πολυπτύγματα Riemann,με σταθερή καμπυλότητα τομής (χώροι μορφής).(ii) Αποδεικνύουμε μια αναγκαία συνθήκη έτσι ώστε ένα συμπαγές πολύπτυγμα Riemannνα επιδέχεται ελαχιστική ισομετρική εμβάπτιση ως υπερεπιφάνεια στη σφαίρα.(iii) Επεκτείνουμε ένα αποτέλεσμα των Shiohama και Xu [58] για συμπαγείς υπερεπιφάνειες σε χώρους μορφής.(iv) Δίνουμε τοπολογικούς περιορισμούς για δ-pinched εμβαπτίσεις.(v) Δίνουμε εσωτερικούς περιορισμούς για συμπαγή ελαχιστικά υποπολυπτύγματα της σφαίρας με pinched δεύτερη θεμελιώδη μορφή.Στο δεύτερο μέρος (Κεφάλαιο 5), ασχολούμαστε με το πρόβλημα της ταξινόμησης των υποπολυπτυγμάτων Einstein με ισόπεδη κάθετη δέσμη σε χώρους μορφής. Συγκεκριμένα,αποδεικνύουμε ότι τέτοια υποπολυπτύγματα είναι (τουλάχιστον τοπικά) holonomic.Ως εφαρμογή, κάτω από την υπόθεση ότι ο δείκτης μηδενοκατανομής (relativenullity) της εμβάπτισης είναι θετική σταθερά, συμπεραίνουμε ότι το υποπολύπτυγμα έχει τη δομή γενικευμένου κύλινδρου επί ενός υποπολυπτύγματος με ισόπεδη κάθετη δέσμη. Τέλος, δίνουμε ταξινόμηση των ανωτέρω υποπολυπτυγμάτων υπό την επιπλέον συνθήκη ότι το διανυσματικό πεδίο μέσης καμπυλότητας είναι παράλληλο ως προς την κάθετη συνοχή.

show abstract

“…(II) A similar classification also holds if we replace the conformal flatness hypothesis with the Einstein one, i.e., Riemannian manifolds with constant Ricci curvature. In particular, something weaker holds and that is that in this case the submanifold does not have to be a priori isoparametric but only to have flat normal bundle and parallel mean curvature vector field (see [16]). The reason we do comment on this case is due to the fact that these two larger classes, namely the Einstein and the conformally flat ones, are (natural) extensions of the class of Riemannian manifolds with constant sectional curvature, which is a subject that has been investigated extensively (from the submanifold point of view) by many authors throughout the years; for a survey see [2].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%