Emploi de méthodes constructives en programmation. Un dossier : la fonction d'Ackermann

La fonction d'Ackermann : un nouveau mode de dérécursivation

“…De même que des mathématiciens comme Darboux ont réussi à simplifier considérablement les calculs de la géométrie analytique (Gaston Darboux, principes de géométrie analytique, Gauthier-Villars, Paris, 1917), il est assez vraisemblable que l'on arrivera à simplifier suffisamment les calculs vol 20, n° 2,1986 …”

“…Suivant la méthode développée en [2], nous construisons le programme itératif à partir de l'invariant de boucle, lui-même tiré de la définition récursive de ƒ. Comme celle-ci est récursive terminale, et qu'il y a intérêt à faire apparaître le dernier terme de la suite, argument gauche de ƒ, nous poserons : -des concaténations à droite; -l'extraction de termes à droite; -un test pour savoir si la suite est vide. Ceci confère à 5 la structure d'une pile, der (5) est le sommet de la pile.…”

“…Le programme contient une seule opération d'empilement : Parce que s est toujours ordonnée non croissante, l'occurrence de s : u dans l'invariant de boucle garantit que s ne contient que des entiers supérieurs ou égaux à u, et donc aucun entier inférieur à u, soit : Ce même programme avait été obtenu [2] au prix de calculs beaucoup plus compliqués, en passant par un sous-programme récursif, que Ton ne pouvait transformer en programme itératif sans recourir à une pile. Nous avions démontré qu'elle était ordonnée non croissante, et donc représentable par le même vecteur c. Il en résulte que s est bien la pile engendrée par la conservation des arguments u lors des appels successifs de A.…”

“…Mais les calculs peuvent être très complexes. C'est ce qui apparait clairement dans la publication que nous avons faite en 1977 de l'application de cette méthode de transformation à la fonction d'Ackermann [2].…”

“…On manque encore de repères permettant de guider la transformation à faire au niveau récursif en vue d'obtenir une forme facile à tranformer, si tant est que de tels guides puissent exister [16]. Nous allons montrer ici comment un choix judicieux de transformation de la définition récursive dyadique de la fonction d'Ackermann en définition monadique permet de retrouver facilement les résultats déjà publiés [2].…”