Equivalence of second-order ordinary differential equations to Painlevé equations

Abstract

Все уравнения Пенлеве, кроме первого, принадлежат одному типу уравнений. В терминах инвариантов этих уравнений получены критерии эквивалентности второму уравнению Пенлеве и уравнению XXXIV из списка пятидесяти уравнений, не имеющих подвижных критических точек. Для третьего, четвертого, а также для частных случаев пятого и шестого уравнений Пенлеве найдены новые необходимые условия эквивалентности. Проведено сопоставление используемых инвариантов с инвариантами, введенными ранее другими авторами, и сравнение полученных результатов.

Point equivalence of second-order ordinary differential equations to the fifth Painlevé equation with one and two nonzero parameters

“…Условия эквивалентности уравнения (1.1) пятому уравнению Пенлеве можно сформулировать в терминах базисных инвариантов (2.2) и инвариантных производных I 1 , а именно D 2 I 1 и D m 1 I 1 [17]. Вместо этой последней серии инвариантов удобнее использовать серию универсальных абсолютных инвариантов, введенных в [13] (только для уравнений четвертого типа),…”

“…Заметим, что инварианты ПV с параметрами, соответствующими п. 2 теоремы 2, удовлетворяют также всем равенствам, выполняющимся для ПVI с одним ненулевым параметром, приведенным в [13], [16]. Но при этом инварианты такого ПVI не удовлетворяют равенству (3.4).…”

“…что приводит к специальной форме (не содержащей явно зависимости от dy/dx) третьего уравнения Пенлеве d 2 y/dx 2 = αe x+y + βe x−y + γe 2(x+y) + δe 2(x−y) из работы [15]. Аналогичным образом установлена достаточность условий эквивалентности четвертому уравнению Пенлеве в статье [13]. В случае ПVI в работе [16] этот подход не применялся из-за невозможности получения обозримых условий эквивалентности, содержащих только инварианты исследуемого уравнения.…”

Open Problems for Painlevé Equations

“…where F is rational in w and dw/dz and locally analytic in z and solved the equations in terms of the first, second and fourth Painlevé transcendents, elliptic functions, or quadratures. For various results on classifying classes of second-order ordinary differential equations, including Painlevé equations, see Babich and Bordag [12], Bagderina [13,15,16,17,18], Bagderina and Tarkhanov [19], Berth and Czichowski [22], Hietarinta and Dryuma [78], Kamran, Lamb and Shadwick [88], Kartak [90,91,92,93], Kossovskiy and Zaitsev [97], Milson and Valiquette [106], Valiquette [139] and Yumaguzhin [145]. Most of these studies are concerned with the invariance of second-order ordinary differential equations of the form…”