Erratum: ‘‘Applications of the Mathieu Equation’’ [Am. J. Phys. <b>64</b>(1), 39–44 (1996)]

Ruby, Lawrence

doi:10.1119/1.18476

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“…[38,39]. The analysis was based on separation of variables, leading to a Mathieu differential equation for the orientational counterpart [47][48][49]. A dominant exponential decay could be obtained from the lowest eigenfunction.…”

Section: Gravitational Forcementioning

confidence: 99%

Mean-field theory of active electrolytes: Dynamic adsorption and overscreening

Frydel

Podgornik

2018

Phys. Rev. E

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We investigate active electrolytes within the mean-field level of description. The focus is on how the double-layer structure of passive, thermalized charges is affected by active dynamics of constituting ions. One feature of active dynamics is that particles adhere to hard surfaces, regardless of chemical properties of a surface and specifically in complete absence of any chemisorption or physisorption. To carry out the mean-field analysis of the system that is out of equilibrium, we develop the "mean-field simulation" technique, where the simulated system consists of charged parallel sheets moving on a line and obeying active dynamics, with the interaction strength rescaled by the number of sheets. The mean-field limit becomes exact in the limit of an infinite number of movable sheets.

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Section: Gravitational Forcementioning

confidence: 99%

Mean-field theory of active electrolytes: Dynamic adsorption and overscreening

Frydel

Podgornik

2018

Phys. Rev. E

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“…Inúmeros estudos já foram feitos sobre esses sistemas, porém esses estudos foram restritos apenas a pequenas oscilações [11]. Neste caso a equação de movimentoé a bem conhecida equação de Mathieu.…”

Section: Introductionunclassified

“…Como outros exemplos de sistemas paramétricos podemos citar o pêndulo no qual o comprimento do fio varia com o tempo e o pêndulo onde o ponto de suspensão movimenta-se na direção vertical. Nestes doisúltimos exemplos, que serão estudados com maior detalhe mais adiante, consideraremos que o parâmetro varie periodicamente no tempo.Inúmeros estudos já foram feitos sobre esses sistemas, porém esses estudos foram restritos apenas a pequenas oscilações [11]. Neste caso a equação de movimentoé a bem conhecida equação de Mathieu.…”

unclassified

Oscilações paramétricas: uma simulação numérica

Rulli

Rino

2007

Rev. Bras. Ensino Fís.

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Um pêndulo com seu ponto de sustentação oscilante e um pêndulo cujo comprimento varia periodicamente pertencemà classe de sistemas físicos ditos paramétricos. Em regime de pequenas oscilações tais sistemas são bem descritos pela a equação de Mathieu como já foi demonstrado. Neste trabalho as equações de movimento para estes dois osciladores paramétricos são integradas numericamente sem se restringir apenas ao regime de pequenas oscilações. Mapas de Poincaré são obtidos mostrando que comportamentos caótico e estável podem coexistir para um mesmo conjunto de parâmetros que caracteriza o sistema. Palavras-chave: pêndulo paramétrico, simulação computacional, caos, mapa de Poicaré.A pendulum with oscillating attached point and a pendulum with the periodically changing length belongs to a class of physical systems called parametric. In the regime of small oscillations such systems are very well described through the Mathieu equations. In this work the equations of motion for these two parametric oscillators are numerically integrated without any restriction of small oscillations. Poincaré maps are obtained, showing that the chaotic and stable behavior can coexist for a given set of parameters which characterizes the system. Keywords: Parametric pendulum, computational simulation, chaos, Poincaré maps. IntroduçãoO estudo das oscilações harmônicas, forçadas, amortecidas e mesmo de osciladores acopladosé comum nos cursos de mecânica. Um outro sistema relacionado aos osciladores harmônicos, mas que em geral não faz parte de nenhum curso de mecânica, ou mesmo de livros-texto, são os osciladores paramétricos.A física paramétrica trata da descrição e estudo de sistemas onde ao menos um dos parâmetros que o caracteriza varia com o tempo. Nos casos em que a variação do parâmetro provoca no sistema um movimento oscilatório, temos a chamada oscilação paramétrica. Oscilações paramétricas são bastante comuns na física do estado sólido e física do plasma. Em circuitos RLC, por exemplo, um efeito similaré observado quando se varia o valor da capacitância C periodicamente. Isso levouà criação de amplificadores paramétricos. Também são observadas oscilações paramétricas na trajetória de partículas em betatrons, ou no simples ato de se balançar em um balanço, sem ser empurrado por ninguém (pois nesse caso tratar-se-ia de ressonância simples), entre outros ([1]-[10]). Como outros exemplos de sistemas paramétricos podemos citar o pêndulo no qual o comprimento do fio varia com o tempo e o pêndulo onde o ponto de suspensão movimenta-se na direção vertical. Nestes doisúltimos exemplos, que serão estudados com maior detalhe mais adiante, consideraremos que o parâmetro varie periodicamente no tempo.Inúmeros estudos já foram feitos sobre esses sistemas, porém esses estudos foram restritos apenas a pequenas oscilações [11]. Neste caso a equação de movimentoé a bem conhecida equação de Mathieu.Neste trabalho nos propomos a estudar dois sistemas que apresentam oscilações paramétricas resolvendo as equações de movimento no caso geral. Para tanto f...

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“…is a paradigmatic model in nonlinear dynamics [9][10][11]. It consists of a planar simple pendulum whose pivot oscillates harmonically along the vertical direction with amplitude P and frequency Ω p , and β is the friction parameter.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Tilted excitation implies odd periodic resonances

et al. 2016

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Our aim is to unveil how resonances of parametric systems are affected when symmetry is broken. We showed numerically and experimentally that odd resonances indeed come about when the pendulum is excited along a tilted direction. Applying the Melnikov subharmonic function, we not only determined analytically the loci of saddle-node bifurcations delimiting resonance regions in parameter space, but also explained these observations by demonstrating that, under the Melnikov method point of view, odd resonances arise due to an extra torque that appears in the asymmetric case.

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Erratum: ‘‘Applications of the Mathieu Equation’’ [Am. J. Phys. 64(1), 39–44 (1996)]

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Mean-field theory of active electrolytes: Dynamic adsorption and overscreening

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Oscilações paramétricas: uma simulação numérica

Tilted excitation implies odd periodic resonances

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