Evaluación experimental de la solución analítica exacta de la ecuación de Colebrook-White

Abstract

En el presente trabajo se diseñó y construyó un sistema hidráulico para la determinación experimental delfactor de fricción en una tubería de PVC bajo flujo turbulento. Este sistema permite conducir el agua por una tubería donde se midieron el caudal y la diferencia de presión para calcular la pérdida de carga entre dos puntos de control, considerando las propiedades asociadas a la tubería como es la rugosidad relativa, su diámetro y longitud. Utilizando la ecuación de Darcy-Weisbach se determinó el factor de fricción experimental. El objetivo del presente trabajo fue evaluar en forma experimental el factor de fricción y compararlo con el obtenido utilizando la fórmula n-ésima como aproximación de la solución exacta de la ecuación de Colebrook-White propuesta por Mikata y Walczak en 2015. La fórmula n-ésima predice el factor de fricción con un error relativo que tiende a disminuir dependiendo de la profundidad de la recursión. En nuestro análisis, para un valor de n igual a 15 el error en la determinación del factor de fricción reportó valores inferiores a 1E-16. Se desarrolló una macro de Excel en lenguaje VBA para evaluar la recursión dada la dificultad numérica de resolver el valor analítico exacto de la ecuación de Colebrook-White. La originalidad del presente trabajo corresponde a la evaluación de la fórmula n-ésima del factor de fricción y su comparación con los resultados experimentales obtenidos en el laboratorio, lo que permite probar la validez de la predicción de la fórmula con un caso real. Esto permitió encontrar el error relativo porcentual respecto al valor experimental.

Colebrook’s Flow Friction Explicit Approximations Based on Fixed-Point Iterative Cycles and Symbolic Regression

“…The simplified method is based on the fixed-point method, a variant of the Newton-Raphson method in which the first derivative of the unknown function is equalized to 1 [30]. In the worst case, the demonstrated iterative procedures need up to seven iterations to reach the final accurate solution [10], whereas in this study the explicit approximations derived from the iterative procedure will have relative errors of up to 1.81% and 0.317% in the case of one internal and two internal iterative steps, respectively.…”

Rational Approximation for Solving an Implicitly Given Colebrook Flow Friction Equation

“…We use Matlab 2019a in order to generate the needed Padé approximants as replacements of the logarithmic function in our rational approximation approach. We do not use expressions with non-integer exponents, because according to Clamond [10], in the software interpretation it is evaluated through one exponential and one logarithmic function (for example B κ = e κ• ln (B) , where κ is in most cases a non-integer). The computational complexity of an algorithm describes the amount of resources required to run it, for example the execution time.…”

“…Based on the Colebrook equation, Moody developed a diagram that was used before the era of computers for graphical determination of turbulent flow friction [5]. Today, such nomograms have been replaced by explicit approximations, which introduce some value of error [6,7], or by iterative methods [8][9][10].…”

What Can Students Learn While Solving Colebrook’s Flow Friction Equation?

“…For the first derivatives, [8,9,[21][22][23] should be consulted. For Example 1, in which Re = 2.3 × 10 5 and ε D = 10 −4 , for initial starting point…”

“…The task can start with a simple trial/error approach that can, in a certain way, put the Colebrook equation in balance, while, furthermore, a simple fixed-point iteration method can be introduced in the curriculum [20]. Then, more complex approaches that require derivatives of the Colebrook equation can lead students to the Newton-Raphson iterative methods [21][22][23] or to the more complex multi-point iterative methods [8,9]. A first simple explicit approximate formula with inner iterative cycles can be introduced using such approaches [24].…”