Exact solution for the nonlinear pendulum

Abstract

This paper deals with the nonlinear oscillation of a simple pendulum and presents not only the exact formula for the period but also the exact expression of the angular displacement as a function of the time, the amplitude of oscillations and the angular frequency for small oscillations. This angular displacement is written in terms of the Jacobi elliptic function sn(u;m) using the following initial conditions: the initial angular displacement is different from zero while the initial angular velocity is zero. The angular displacements are plotted using Mathematica, an available symbolic computer program that allows us to plot easily the function obtained. As we will see, even for amplitudes as high as 0.75π (135 • ) it is possible to use the expression for the angular displacement, but considering the exact expression for the angular frequency ω in terms of the complete elliptic integral of the first kind. We can conclude that for amplitudes lower than 135 o the periodic motion exhibited by a simple pendulum is practically harmonic but its oscillations are not isochronous (the period is a function of the initial amplitude). We believe that present study may be a suitable and fruitful exercise for teaching and better understanding the behavior of the nonlinear pendulum in advanced undergraduate courses on classical mechanics. Keywords: simple pendulum, large-angle period, angular displacement.Este artigo aborda a oscilação não-linear de um pêndulo simples e apresenta não apenas a fórmula exata do período mas também a dependencia temporal do deslocamento angular para amplitudes das oscilações e a freqüência angular para pequenas oscilações. O deslocamento angularé escrito em termos da função elíptica de Jacobi sn(u;m) usando as seguintes condições iniciais: o deslocamento angular inicialé diferente de zero enquanto que a velocidade angular inicialé zero. Os deslocamentos angulares são plotados usando Mathematica, um disponível programa simbólico de computador que nos permite plotar facilmente a função obtida. Como veremos, mesmo para amplitudes tão grandes quanto 0,75π (135 o )é possível usar a expressão para o deslocamento angular mas considerando a expressão exata para a freqüência angular w em termos da integral elíptica completa de primeira espécie. Concluímos que, para amplitudes menores que 135 o , o movimento periódico exibido por um pêndulo simplesé praticamente harmônico, mas suas oscilações não são isócronas (o períodoé uma função da amplitude inicial). Acreditamos que o presente estudo possa tornar-se um exercício conveniente e frutífero para o ensino e para uma melhor compreensão do pêndulo não-linear em cursos avançados de mecânica clássica na graduação. Palavras-chave: pêndulo simples, período a grandesângulos, deslocamento angular.Perhaps one of the nonlinear systems most studied and analyzed is the simple pendulum [1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12], which is the most popular textbook example of a nonlinear system and is studied not only in advanced but also in introductory university courses o...

Resolvendo Equações Diferenciais pelo Método da Decomposição de Adomian

“…Outro sistema físico bastante conhecido e cuja análise recai numa equação diferencial não-linear de segunda ordem é o pêndulo simples não-amortecido. A equação diferencial que descreve o movimento de um pêndulo de comprimento l apenas sobre a ação da gravidade g é dada pela equação [24] , assim como a parte não-linear é dada por Nθ = sin (θ). Para utilizar o método da decomposição de Adomian, tem-se que o operador inverso é dado, neste caso, por L −1 = t 0 s 0 (•)duds.…”

Semiclassical Nonlinear Approach for Mesoscopic Circuit

“…A solution of the differential equation (6) is based on Jacobi elliptic integrals has been well known. There exists a great number of papers and textbooks dealing with pendulums, the reader is referred to [10], So following [10][11][12][13] and after several steps algebraic we can obtain the normalized magnetic flux, in equation (6) (see also appendix A of [14]), where we have incorporated the initial condition of formula for the nonlinear pendulum, [12,13].…”

Holografía: ciencia, arte y tecnología

“…Cuando se observa un objeto, lo que llega a nuestros ojos es la onda emitida o difundida por el mismo. Por tanto, si de alguna manera se consiguiera reproducir dicha onda, yésta alcanzara nuestros ojos, parecería provenir del objeto original y seríamos capaces de ver la imagen formada en una tridimensionalidad perfecta, exactamente como si el objeto estuviera realmente ante nosotros [2,10]. Precisamente esto es lo que puede conseguirse mediante la holografía, que consta de dos etapas denominadas registro y reconstrucción.…”

“…Precisamente esto es lo que puede conseguirse mediante la holografía, que consta de dos etapas denominadas registro y reconstrucción. Mediante el proceso de registro se almacena en determinados materiales fotosensibles [10][11][12], y en forma de franjas de interferencia, la información necesaria para posteriormente reconstruir un frente de onda casi idéntico al que dio lugar a esa información. El material fotosensible impresionado y procesado, soporte de esta información, constituye el holograma, del griego "holos" que significa la totalidad [12].…”