Families of periodic orbits in resonant reversible systems

Teoria de forma normal para campos vetoriais reversíveis equivariantes

“…Em [44], por exemplo, os autores usam o método de Belitskii para chegar a formas normais para o estudo de ocorrência de famílias deórbitas periódicas de duas classes especiais de sistemas reversíveis, sendo uma ressonante, outra não ressonante. Para o caso ressonante, a forma normal naquele trabalhoé truncada em um baixo grau, e os cálculos ficam cada vez mais complicados para valores crescentes deste grau.…”

“…Em consequência, obtemos diretamente a forma normal de grau qualquer que se deseje, ou necessite, truncar a série de Taylor do campo de vetores em questão. Sendo assim, resultados que apresentamos neste capítulo generalizam algumas formas normais obtidas em [44].…”

“…Observamos aqui que a dedução da forma normal via o cálculo do ker Ad k L t se torna complicadaà medida que os valores de n 1 e n 2 se tornam maiores. De fato, istoé visto em [44] e [50], onde os autores lidam com alguns valores particulares de n 1 e n 2 . Com o Teorema 3.3.5 contornamos este problema e encontramos formas normais para quaisquer valores de n 1 e n 2 .…”

“…A importância de uma antissimetria foi notada por Birkhoff [7] em um estudo do problema restrito de três corpos, e anos depois Devaney [27] Muitos autores têm usado a teoria de forma normal para estudar a ocorrência de ciclos homoclínicos e heteroclínicos e famílias deórbitas periódicas tanto em sistemas puramente reversíveis quanto em sistemas reversíveis equivariantes (veja, por exemplo, [17,44,45,47,50]). Nestes trabalhos, a obtenção da forma normal truncada até grau ké feita através do cálculo do kernel do operador homológico e então as condições de simetrias são impostas como um passo a posteriori.…”

“…Neste caso, a condição de ressonância afeta diretamente a forma do grupo S em (0.1). Sobre sistemas com ressonância citamos ainda os trabalhos [15,16,22,44]. O resultado geral desta tese foi motivado por uma pergunta colocada a nós por M. F. S. Lima sobre a obtenção da forma normal desenvolvida por Belitskii no contexto reversível.…”