Fields with two linear orderings

Bredikhin, S. V.; Ershov, Yu. L.; Kal'nei, V. E.

doi:10.1007/bf01123840

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“…Proposition 6.11. [BEK,Prop.3] Given a field F with two orderings P 1 , P 2 , there always exists an algebraic extension F of F which is maximal with respect to P1 , P2 , where P1 , P2 are extensions of P 1 , P 2 to F . Theorem 6.12.…”

Section: Thus Again By Propositionmentioning

confidence: 99%

Additive structure of multiplicative subgroups of fields and Galois theory

Mahé¹,

Mináč²,

Smith

2004

Doc. Math.

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One of the fundamental questions in current field theory, related to Grothendieck's conjecture of birational anabelian geometry, is the investigation of the precise relationship between the Galois theory of fields and the structure of the fields themselves. In this paper we initiate the classification of additive properties of multiplicative subgroups of fields containing all squares, using pro-2-Galois groups of nilpotency class at most 2, and of exponent at most 4. This work extends some powerful methods and techniques from formally real fields to general fields of characteristic not 2.

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Section: Thus Again By Propositionmentioning

confidence: 99%

Additive structure of multiplicative subgroups of fields and Galois theory

Mahé¹,

Mináč²,

Smith

2004

Doc. Math.

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“…(3) Se K é um corpo pitagórico, então K( √ −1) contém todas as raízes 2 n -ésimas da unidade. A prova deste fato é elementar e pode ser encontrada, por exemplo, em [6],…”

Section: Construção De Um Corpo Pitagórico 91unclassified

Elementos rigidos, valorizações e estrutura de aneis de Witt

Neto¹,

Engler²

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Esta tese, definitivamente, não é um trabalho solitário e não seria realizada sem o apoio de várias pessoas. É claro que os erros que porventura nela estejam contidos são de inteira responsabilidade do autor.Em primeiro lugar, gostaria de agradecer ao Centro Federal de Educação Tecnológica do Ceará, onde sou professor desde 1997, pelo apoio durante o afastamento. À Universidade Estadual de Campinas, pelo suporte financeiro através do Programa Piloto de Bolsas para Instrutores Graduados (BIG).Ao professor Antonio José Engler, meu orientador, com quem aprendi o assunto deste trabalho e também muitas lições sobre como escrever matemática, agradeço, sobretudo, pela paciência e atenção com que se dedicou ao difícil trabalho de orientação. Aos professores, alunos e funcionários do IMECC, que sempre mantiveram um clima de cordialidade e cooperação, sem o qual seria impossível desenvolver um trabalho de pesquisa. Aos professores Plamen Emilov Koshlukov, Fernando Eduardo Torres Orihuela e Paulo Roberto Brumatti, pelos excelentes cursos nos quais muito aprendi sobre álgebra. Aos meus amigos Francisco Odair Vieira de Paiva, Paulo Cesar Cavalcante de Oliveira e Luiz Antonio da Silva Medeiros que nos receberam em sua casa, quando de nossa chegada a Campinas. Cabe aqui um agradecimento especial ao Odair, pela pessoa especial que ele é, sempre pronto a ajudar de modo alegre e desprendido. Aos meus colegas da álgebra, principalmente os mais próximos: Ronie Peterson Dario, Fabio Alexandre de Matos e Maurício de Araújo Ferreira, pela convivência fraterna no período em que estudamos juntos. À minha família, em especial aos meus pais Nicolino Papa e Dagmar Alves Papa, pela educação que me deram, mais do que por palavras, pelo exemplo. Também pelo período em que, resignadamente, suportaram a ausência do filho. Ao meu amado filho Pedro Espindola Papa, que nestes seus dois primeiros anos de vida tanto nos tem surpreendido com sua incrível inteligência e espirituosidade, e com sua presença tem banhado de luz os meus dias. Finalmente, meu agradecimento maior, à minha querida esposa Sueli Espindola Papa, companheira dos bons e maus momentos, a pessoa que acompanhou mais de perto todo o desenvolvimento da tese, nos seus momentos mais alegres e também nos mais sofridos. Sem seu apoio constante, sua disposição e seu sacrifício nas horas difíceis, jamais teria conseguido realizar este intento. A ela dedico, humildemente, este trabalho. vi Resumo Um corpo ordenado é uma estrutura algébrica similar à do corpo dos números reais. No entanto, ao contrário dos reais, um corpo arbitrário F pode admitir mais de uma ordem, inclusive um número infinito e não enumerável de ordens. A cada elemento x do corpo F podemos associar uma forma quadrática binária 1, x , chamada 1-forma de Pfister. Os elementos de Ḟ = F {0} representados por 1, x constituem um grupo que chamamos grupo de valores da forma e denotamos por D 1, x . Um elemento d ∈ Ḟ é chamado rígido se D 1, d = Ḟ 2 ∪ d Ḟ 2 , onde Ḟ 2 é o subgrupo de Ḟ formado pelos quadrados. Um elemento d é dito bi...

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