Finitely axiomatizable Boolean algebras with distinguished ideals

Palchunov, D. E.

doi:10.1007/bf01980241

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“…Les extensions completes finiment axiomatisables de T x ont ete caracterisees par D. E. Pal'chunov [7]…”

Section: Est Egal A(\)ou Appartient a M(3(s/ T )} Et N(a T M^) = Yjunclassified

“…Les structures 3>(s4} peuvent aussi etre utilisees pour determiner les modeles de T x possedant certaines proprietes particulieres: X etant suppose fini, on donne ainsi une caracterisation des extensions completes de T x finiment axiomatisables, independante de celle donnee par D.E. Pal'chunov dans [7], que Ton compare a une caracterisation des extensions completes X 0 -categoriques deduite de celle donnee par A. Macintyre et J. G. Rosenstein dans [6]; on decrit de plus les n-types et on determine les modeles atomiques (au sens de la theorie des modeles) qui possedent un nombre fini d'ideaux definissables.…”

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“…Comme A/sa(J) est atomique (d'apres at(sa(J)) = (1), propriete 5 de (I)), 0 < n(A, J) < oo signifie que A/sa(J) est une algebre de Boole finie non triviale. En ce cas, l'intervalle [sa(7), (1)] de H est fini et complements (le complement relatif d'un element K etant K -> sa(J)), et done sa(J) est l'intersection des complements relatifs des atomes de cet intervalle, qui appartiennent a M(H).2) Utiliser la remarque precedente et les proprietes de l'operateur is( ) decrites dans la propriete 7 de (I) pour verifier que is(f[K,) est la reunion disjointe des is(/f,).Comme l'egalite n{A, J) = 0 est equivalente a sa(J) = (1) pour tout ideal J de A, on voit qu'il suffit de connaitre H et la restriction de l'application n(A, ) a M(H) pour pouvoir calculer n(A, J) pour tout J de H. En particulier, la theorie de tout modele s/ de Tx d'algebre de Boole sous-jacente A est done determinee par <&{$$) et par la restriction de n(A, ) a M(^(,a/)), puisque d'apres le theoreme 35 de (I) elle est determinee par @(sf) et par l'application n(A, ) definie sur @>(s$\ DEFINITION. Le type d'isomorphisme du couple (20 (,e/), n(A, )), ou l'application n(A, ) est restreinte a M(S>(s/)), est appele l'invariant associe a .E/.…”

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Théories d'algèbres de Boole munies d'idéaux distingués. II

Touraille¹

1990

J. symb. log.

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La première partie de cet article ([10], que nous désignerons par (I) dans la suite) était consacrée à la théorie élémentaire TX des algèbres de Boole munies d'idéaux distingués indéxés dans un ensemble X. On a vu que les idéaux définissables dans un modèle de Tx forment la sous-algèbre engendrée par les idéaux distingués de l'algèbre de Heyting des idéaux de munie de l'opérateur sa défini par sa(K) = {a: a/K est sans atome}, et que la théorie de peut être caractérisée par la structure composée de l'algèbre de Heyting des idéaux définissables munie de l'opérateur sa et des idéaux distingués, et par l'application qui à tout K de fait correspondre le nombre d'atomes de /K, pris dans N ⋃ {∞}.Nous montrons maintenant que les structures possibles peuvent être définies de façon axiomatique en introduisant une classe équationnelle d'algèbres de Heyting munies d'une opération unaire, dites sa-algèbres de Heyting (en abrégé sa-AH), et en prouvant que cette classe est constituée des algèbres pouvant être plongées dans l'algèbre de Heyting des idéaux d'une algèbre de Boole, munie de l'opérateur sa. Ainsi les sont, à isomorphisme près, les sa-AH engendrées par des éléments distingués indéxés dans X; on en déduit une classification des extensions complètes de Tx en montrant que les applications qui peuvent être associées à une structure de la forme pour caractériser la théorie d'un modèle sont déterminées par leur restriction à une partie M() définie uniformément, sur laquelle elles prennent des valeurs dans (N − {0}) ⋃ {∞}, et que réciproquement toute application de M() dans (N − {0}) ⋃ {∞} est une telle restriction.

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“…Les extensions completes finiment axiomatisables de T x ont ete caracterisees par D. E. Pal'chunov [7]…”

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