Fonctions $L$ $p$-adiques, théorie d'Iwasawa et points de Heegner

Perrin-Riou, Bernadette

doi:10.24033/bsmf.2085

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“…The following is the main result of this paper (which appears in the text as Theorems 2.4.17 and 3.1.5) and was inspired by conjectures of Mazur [12], PerrinRiou [18] and Mazur-Rubin [15] concerning Heegner points. A different statement of the Iwasawa main conjecture over D ∞ , involving elliptic units and including the case where the sign in the functional equation is equal to 1, is also contained in Theorem 2.4.17.…”

Section: Introduction and Statement Of Resultsmentioning

confidence: 99%

Anticyclotomic Iwasawa theory of CM elliptic curves

Agboola¹,

Howard²

2006

Ann. inst. Fourier

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Abstract. We study the Iwasawa theory of a CM elliptic curve E in the anticyclotomic Zp-extension of the CM field, where p is a prime of good, ordinary reduction for E. When the complex L-function of E vanishes to even order, Rubin's proof of the two variable main conjecture of Iwasawa theory implies that the Pontryagin dual of the p-power Selmer group over the anticyclotomic extension is a torsion Iwasawa module. When the order of vanishing is odd, work of Greenberg shows that it is not a torsion module. In this paper we show that in the case of odd order of vanishing the dual of the Selmer group has rank exactly one, and we prove a form of the Iwasawa main conjecture for the torsion submodule.

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Section: Introduction and Statement Of Resultsmentioning

confidence: 99%

Anticyclotomic Iwasawa theory of CM elliptic curves

Agboola¹,

Howard²

2006

Ann. inst. Fourier

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“…D'autre part, soit (2~ la p6riode r6elle positive de E d6finie par E (R) La variation de o_gCp(E/Q) lorsque E parcourt une classe d'isog6nie de courbes elliptiques sur Q (voir [21]) montre que 2'p(E/Q~) ( Le dual de Pontryagin du groupe de Selmer de E sur Q~ relatif h pO~ est un Iw(Q~/Q)-module compact de type fini.…”

Section: R6sultatsunclassified

Points de Heegner et d�riv�es de fonctionsL p-adiques

Perrin-Riou

1987

Invent Math

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Soit N un entier strictement sup6rieur /l i et soit f une forme modulaire primitive de poids 2 pour le sous-groupe Fo(N) du groupe modulaire classique. Soit k un corps quadratique imaginaire de discriminant impair premier /l N. En utilisant le corps k et sous l'hypoth6se que tout diviseur premier de Nest d6compos6 dans k, on peut construire des points sur la courbe modulaire Xo(N) qui sont rationnels sur le corps de Hilbert de k et qui sont appel6s points de Heegner. R6cemment, Gross et Zagier I-7] ont d6couvert une formule donnant en termes de la hauteur canonique de ces points de Heegner la valeur en s = l de la d6riv6e premi6re de la fonction L complexe attach6e /t f et /l k. Choisissons maintenant un nombre premier p impair premier h N, se d6composant dans k et ordinaire pour f. En utilisant les id6es de Hida, on montre [-20] que l'on peut attacher ~i f et k une fonction L p-adique. Nous montrons ici l'analogue p-adique de la formule de Gross et Zagier pour la d6riv6e premi6re de cette fonction L p-adique au caract6re trivial. Dans cet analogue p-adique, la hauteur complexe des points de Heegner est remplac6e par son analogue p-adique classique (ce que nous pr6ciserons au paragraphe 4; notons que la jacobienne de Xo(N) n'est en g6n6ral pas ordinaire en p). Comme corollaires, nous obtenons les analogues p-adiques de diverses applications de la formule complexe donn6es par Gross et Zagier. De plus signalons que Rubin a tr6s r6cemment combin6 les r6sultats de Gross et Zagier et ceux de cet article avec des arguments de descente pour prouver des r6sultats nouveaux et profonds sur l'arithm6tique des courbes elliptiques ~ multiplication complexe. 1

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“…In this setting the Pontryagin dual Xoo of the Selmer group Selpoo(E/Koo) has positive A-rank, and we can prove the above conjectures. The proof uses results of (1), which provide a partial proof of a Main Conjecture of Iwasawa theory formulated by Perrin-Riou in [14]. We [12].)…”

mentioning

confidence: 99%

Iwasawa theory for elliptic curves over imaginary quadratic fields

Bertolini¹

2001

Journal De Théorie Des Nombres De Bordeaux

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Fonctions $L$ $p$-adiques, théorie d'Iwasawa et points de Heegner

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Anticyclotomic Iwasawa theory of CM elliptic curves

Anticyclotomic Iwasawa theory of CM elliptic curves

Points de Heegner et d�riv�es de fonctionsL p-adiques

Iwasawa theory for elliptic curves over imaginary quadratic fields

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