Formules Locales de Type Martinelli – Bochner – Koppelman sur des Variétés CR

Abstract

We construct local formulas of Martinelli -Bochner -Koppelman type on qconcave generic C Rmanifolds. We apply these results to study the tangentiel Cauchy -Riemann equations and the Hartogs -Bochner phenomenon on such manifolds. 1991 Mathematics Subject Classificntion. 32A25, 32D5, 32F25, 32F40. Keyworrls and phmses. ReprCsentations intkgrales, Bquations de Cauchy -Riemann tangentielles, extensions de fonctions C Rq -convexit6qconcavith. ou les p v l 1 5 v 5 k, sont des fonctions a valeurs rCelles de classe C' sur un domaine RdecC",verifiantdpl(z)A...Adpk(z)#Opour tout z E M . On note T," ( M ) l'espace tangent complexe a M au point z E M , i. e., On a dime T," (M) 2 n-k. La vari6tC M est dite C R si dime T," (M) est independante du point z , elle est dite C R g6nQique si pour tout z E M , dimc T," ( M ) = nk ce qui esl, equivalent a -(1.2)Si fir est C R gCndrique et f2 2 2, on dit que M est q-concave, 0 5 q 5 y, si poura au rrioins q valeurs propres strictement negatives. 1.2.Soit f une forme diffCrentielle sur un domaine D 6". Alors on note Ilf(z)ll, z E D , la norme riemannienne de f en z (cf. (101, Section 0.4). SiM est une variCtC! rCelle de classe C' et f line forme diffbrentielle de degrk maximal, alors on note If1 la valeur absolue de f (cf. [lo], Section 0.3). Barkatou, Formules de Type M. B. K sur des VwiCtCs C R 7 1.4. Soit D CC C n un domaine. C;(D) est, I'ensemble des formes diff6rentielles continues sur D. On note llfllo = Ilfll0,D ' = Ilf(z)ll ZED pour f E C,O(D). des prolongements continus A D qui sont, si a > 0, holderiens d'ordre a. On note C: (a), 0 5 a < 1, est l'espace des formes , f E C:(D) dont les caefficients admettent pour 0 < a < 1 et f E C;(D). et qui sont a support compact. [C:(D)], est, I'ensemble des formes diffkrentielles de classe Cc (l = 0'1'2, . . . ) sur D Si Ap,,.(D) est l'ensemble des formes de bidegrk (p,r) sur D , alors C,O,r(D) = C,O(D) nAp,r(D) 9 c,O,*(o) = IJ C,O,r(D) 1 c;,*(D) = IJ c;,r(D), C:,,r(a) = C,Q(D) n Ap,r(D) 7 O<r<n O l r < n [ c ; . r (~) I o = [cI(D)IO n~n r 1 [c.E,*(~)]o = IJ [c:,r(~)I, . O<r<n 1.5. Soit M une sous-variete C R g6nkrique' de codimension k dans C". C;,,,,(M) est l'espace des formes diffkrentielles de type ( n , r ) qui sont continues sur M . Crn,,,(M) (0 < a < 1) est l'espace des formes diffhrentielles continues de type ( n , r ) dont les ccefficients sont aholdkriens sur toul, compact K de M . C[n,r,(M) (a = 0,1,2,. . . ) est l'espace des fiirmes de type ( n , r ) qui sont de classe Ce, muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de toutes les derides d'ordre 5 e. D[n,r)(M) ou [C;,,(M)], dbigne l'ensemble de toutes les formes de Ctn,r,(M) qui sont a support compact dans M : une suite (fv)",=M converge dans DDfn,,)(M) si elle converge dans Ctn,., ( M ) et s'il existe un compact K c M tel que supp f v C K pour tout u .

Boundary Hölder and $L^p$ estimates for local solutions of the tangential Cauchy-Riemann equation

“…The local solvability of the ∂ b equation in q-concave CR manifolds goes back to Naruki [15], Henkin [9], Airapetjan-Henkin [1] and Nacinovich [14]. A homotopy formula for ∂ b for forms with compact support on q-concave manifolds was constructed earlier by Barkatou [3] and Barkatou-LaurentThiébaut [4]. A microlocal version of the local homotopy formula for ∂ b on qconcave manifolds was studied by Polyakov [16].…”

Solutions fondamentales et estimations optimales pour l'opérateur de Cauchy-Riemann tangentiel

“…Corollaire 0.2. Soient M une sous-variété CR générique 1-concave, de classe C l+3 d'une variété analytique complexe et T une distribution d'ordre l sur M. Si ∂b T est une (0, 1)-forme de classe C l sur M alors T est en fait une fonction de classe C l+1/2 sur M. Le Corollaire 0.2 améliore un résultat de [3] (voir également [2, Thm. 1]) où l'auteur prouve un théorème de régularité hölderienne d'ordre 1 2 − ε si M est de classe C 3 et d'ordre 1/2 k − ε si M est de classe C 2 .…”

“…Il est démontré par Fischer [9], lorsque M est une hypersurface. Nous ne répétons pas ici la démonstration, qui est identique à celle donnée dans [9] (voir aussi [3]).…”

“…Les premiers résultats sur la résolution de l'équation de Cauchy-Riemann tangentielle dans les variétés CR q-concaves sont annoncés par Henkin dans [13], puis développés dans [1]. Dans sa thèse [3], le premier auteur a étendu les résultats de son article [4] au cas des variétés CR q-concaves, obtenant ainsi des noyaux de type Bochner-Martinelli avec des estimations C 1/2−ε sur M. Ces noyaux sont construits par itération de la résolution du ∂ dans des domaines à coins q-convexe attachés à la variété M. Une "presque" formule d'homotopie (i.e., modulo un opérateur compact) avec estimations optimales est prouvée par Polyakov dans [19] pour les espaces de Stein et dans [20] pour les espaces C k . Dans ses articles Polyakov introduit la notion de variété régulièrement q-concave et obtient ses résultats sous cette hypothèse à priori plus restrictive que la q-concavité.…”

${\cal C}^k$ estimates for ${\overline \partial}$ on q-convex wedges

“…Motivated by the same problem, Laurent-Thiébaut and Leiterer proved in [9] some uniform estimates and in particular Hölder regularity for the ∂-equation on these domains. Other estimates can be found in [2].…”