Fractional variational calculus for nondifferentiable functions

Almeida, Ricardo; Torres, Delfim F. M.

doi:10.1016/j.camwa.2011.03.098

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“…The formulas (4) and (5) follow from the fractional Leibniz rule and the fractional Barrow's formula [29]. In addition, Kolwankar obtained the same formula (4) by using an approach on Cantor space [30].…”

Section: Mathematical Problems In Engineeringmentioning

confidence: 91%

Analytic Solutions of the Space-Time Fractional Combined KdV-mKdV Equation

Abdel-Salam

Al-Muhiameed

2015

Mathematical Problems in Engineering

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The fractional mapping method is proposed to solve fractional differential equations. To illustrate the effectiveness of the method, we discuss the space-time fractional combined KdV-mKdV equation. Many types of exact analytical solutions are obtained. The solutions include generalized trigonometric and hyperbolic functions solutions. These solutions are useful to understand the mechanisms of the complicated nonlinear physical phenomena and fractional differential equations. Among these solutions, some are found for the first time.

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Section: Mathematical Problems In Engineeringmentioning

confidence: 91%

Analytic Solutions of the Space-Time Fractional Combined KdV-mKdV Equation

Abdel-Salam

Al-Muhiameed

2015

Mathematical Problems in Engineering

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“…We prove in particular that the Jumarie's fractional derivative can not satisfy the Leibniz's property. This result has strong consequences as it invalidates many uses of this operator as for example to extend the classical calculus of variations [1,23].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Comments on various extensions of the Riemann–Liouville fractional derivatives : About the Leibniz and chain rule properties

Cresson

Szafrańska²

2020

Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation

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Starting from the Riemann-Liouville derivative, many authors have built their own notion of fractional derivative in order to avoid some classical difficulties like a non zero derivative for a constant function or a rather complicated analogue of the Leibniz relation. Discussing in full generality the existence of such operator over continuous functions, we derive some obstruction Lemma which can be used to prove the triviality of some operators as long as the linearity and the Leibniz property are preserved. As an application, we discuss some properties of the Jumarie's fractional derivative as well as the local fractional derivative. We also discuss the chain rule property in the same perspective.

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“…Aqui, vamos nos concentrar e justificar a utilidade das recentes formas de se introduzir uma derivada de ordem não inteira, que emergiram após o trabalho de Capelas de Oliveira-Tenreiro Machado [55], em particular, aquelas com um núcleo não singular [56,57], bem como as derivadas fracionárias locais, pois são convenientes para lidar com funções não diferenciáveis [58][59][60].…”

Section: Introductionunclassified

Sobre derivadas fracionárias

Teodoro

Oliveira

2017

Rev. Bras. Ensino Fís.

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Apresentamos as várias maneiras de definir uma derivada fracionária, na forma de uma introdução histórica ao cálculo fracionário. Partindo do conceito de derivada fracionária, queé uma generalização da integral de Cauchy, abordamos as derivadas fracionárias nos sentidos de Riemann-Liouville e Caputo. Discutimos propostas recentes de novas derivadas fracionárias que, por meio de um processo de limite adequado, recuperam ambas as formulações de Riemann-Liouville e Caputo. Também discutimos outras formulações em que o núcleo da integraĺ e não singular. Com base em um critério recente, justificamos por que tais derivadas podem ser consideradas derivadas fracionárias autênticas. Também apresentamos algumas aplicações de cunho estritamente matemático, junto com uma aplicação a um problema físico específico. Palavras-chave: Derivada fracionária, cálculo de ordem não inteira, derivada de Riemann-Liouville, Derivada de Caputo, Circuito RL.We present the several ways one can define a fractional derivative, in the form of a historical introduction to fractional calculus. Starting with the concept of fractional derivative, which is a generalization of the Cauchy integral, we approach the fractional derivatives in the senses of Riemann-Liouville and Caputo. We discuss recent proposals of new fractional derivatives which, through an adequate limiting process, recover both the Riemann-Liouville and the Caputo formulations. We also discuss other formulations in which the kernel of the integral is nonsingular. On the basis of a recent criterion, we justify why such derivatives can be considered authentic fractional derivatives. We also present some applications of strictly mathematical nature, together with an application to a specific physical problem. Keywords: Fractional derivates, Non-integer order calculus, Riemann-Liouville derivative, Caputo derivative, Circuit RL. IntroduçãoCálculo de ordem inteira ou simplesmente cálculoé um ramo da matemática cujo objetivoé o estudo dos fenômenos que envolvem movimento e variação, que estão associados aos conceitos deárea (integral) e tangente (derivada). O teorema fundamental do cálculo coloca em pé de igualdade estes dois conceitos.O cálculo integral, remontaà antiga Grécia, quando Arquimedes, desenvolveu e aplicou o método da exaustão para solucionar o problema da determinação deáreas. No século XVII, este ramo recebeu maior impulso, quando Newton e Leibniz, independentemente um do outro, algebrizam o método da exaustão, o qual passou, gradualmente, a ser chamado como hojeé conhecido; cálculo integral uma nova ferramenta para resolver não só problemas geométricos associadosàárea, mas também de grande aplicabilidade em outras ciências. O cálculo diferencial, contrariamente ao cálculo integral, desenvolveu-se muito mais tarde na história da Matemática. O conceito não tinha ainda sido formulado até início do século XVII, quando Fermat procurou obter os máximos e mínimos de certas funções. Leibniz, na segunda metade do século XVII, algebriza esse problema apresentando os conceitos de va...

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Fractional variational calculus for nondifferentiable functions

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Analytic Solutions of the Space-Time Fractional Combined KdV-mKdV Equation

Analytic Solutions of the Space-Time Fractional Combined KdV-mKdV Equation

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