Sobre derivadas fracionárias

Abstract

Apresentamos as várias maneiras de definir uma derivada fracionária, na forma de uma introdução histórica ao cálculo fracionário. Partindo do conceito de derivada fracionária, queé uma generalização da integral de Cauchy, abordamos as derivadas fracionárias nos sentidos de Riemann-Liouville e Caputo. Discutimos propostas recentes de novas derivadas fracionárias que, por meio de um processo de limite adequado, recuperam ambas as formulações de Riemann-Liouville e Caputo. Também discutimos outras formulações em que o núcleo da integraĺ e não singular. Com base em um critério recente, justificamos por que tais derivadas podem ser consideradas derivadas fracionárias autênticas. Também apresentamos algumas aplicações de cunho estritamente matemático, junto com uma aplicação a um problema físico específico. Palavras-chave: Derivada fracionária, cálculo de ordem não inteira, derivada de Riemann-Liouville, Derivada de Caputo, Circuito RL.We present the several ways one can define a fractional derivative, in the form of a historical introduction to fractional calculus. Starting with the concept of fractional derivative, which is a generalization of the Cauchy integral, we approach the fractional derivatives in the senses of Riemann-Liouville and Caputo. We discuss recent proposals of new fractional derivatives which, through an adequate limiting process, recover both the Riemann-Liouville and the Caputo formulations. We also discuss other formulations in which the kernel of the integral is nonsingular. On the basis of a recent criterion, we justify why such derivatives can be considered authentic fractional derivatives. We also present some applications of strictly mathematical nature, together with an application to a specific physical problem. Keywords: Fractional derivates, Non-integer order calculus, Riemann-Liouville derivative, Caputo derivative, Circuit RL. IntroduçãoCálculo de ordem inteira ou simplesmente cálculoé um ramo da matemática cujo objetivoé o estudo dos fenômenos que envolvem movimento e variação, que estão associados aos conceitos deárea (integral) e tangente (derivada). O teorema fundamental do cálculo coloca em pé de igualdade estes dois conceitos.O cálculo integral, remontaà antiga Grécia, quando Arquimedes, desenvolveu e aplicou o método da exaustão para solucionar o problema da determinação deáreas. No século XVII, este ramo recebeu maior impulso, quando Newton e Leibniz, independentemente um do outro, algebrizam o método da exaustão, o qual passou, gradualmente, a ser chamado como hojeé conhecido; cálculo integral uma nova ferramenta para resolver não só problemas geométricos associadosàárea, mas também de grande aplicabilidade em outras ciências. O cálculo diferencial, contrariamente ao cálculo integral, desenvolveu-se muito mais tarde na história da Matemática. O conceito não tinha ainda sido formulado até início do século XVII, quando Fermat procurou obter os máximos e mínimos de certas funções. Leibniz, na segunda metade do século XVII, algebriza esse problema apresentando os conceitos de va...

The Memory Effect on Fractional Calculus: An Application in the Spread of Covid-19

“…We denote by AC n [0, b] the set of functions in which the order derivative n − 1 is absolutely continuous in [0, b] [7]. [26]) Let α ∈ R + , b > 0, f ∈ AC n [0, b] and n = α . The fractional derivative of Riemann-Liouville of order α is given by…”

“…Definition 3 (Fractional Derivative of Caputo [15,26]) Let α ∈ R + , b > 0 and f ∈ AC n [0, b]. For t ∈ [0, b], the fractional derivative of Caputo of order α is given by…”

Um sentido físico para modelagem fracionária:O caso do amortecimento das ondas eletromagnéticas

“…Além da dúvida em sua natureza, existia ainda um questionamento sobre sua interpretação física e geométrica e sobre a alteração da dimensão física, quando a equação * Endereço de correspondência: hprates2005@hotmail.com era transformada de inteira para fracionária. Ainda hoje existem alguns estudos sobre essa interpretação [1][2][3][4], e também sobre o problema da dimensão [5]. Além disto, novos métodos de solução foram introduzidos na literatura [6][7][8] e, mais precisamente na década de 90, surgiram muitas publicações em livros, revistas, congressos sobre o tema.…”

Uma introdução ao cálculo fracionário e suas aplicações em circuitos elétricos

“…Tendo adquirido algum conhecimento a respeito das derivadas fracionárias, o método será aplicado a circuitos elétricos do tipo RC e RL fracionários, e uma breve discussão da motivação física para a proposta de relações fracionárias será apresentada. Um artigo recente aborda as derivadas fracionárias na Revista Brasileira de Ensino de Física, apresentando em maior profundidade os aspectos matemáticos e teóricos do assunto [53], enquanto neste trabalho procuraremos apresentar, além de uma certa ênfase nas definições baseadas em transformadas, as possíveis motivações físicas para o aparecimento da ordem fracionária em circuitos elétricos.…”