Fractional calculus has been widely used in mathematical modeling of evolutionary systems with memory effect on dynamics. The main interest of this work is, through a statistical approach, to attest how the hysteresis phenomenon, which describes the memory effect present in biological systems, can be treated by fractional calculus, and to analyze the contribution of the historical values of a function in the evaluation of fractional operators according their order. In order to illustrate the efficiency of this non-integer order calculus, we consider the SIR (Susceptible-Infected-Recovered) compartmental model which is widely used in epidemiology. We employ SIR models to model the dynamics, with and without memory, of the spread of Covid-19 in some countries.

Modelos matemáticos para dinâmica de doenças de transmissão direta e de presa-predador considerando parâmetros interativos e t-normas AgradecimentosAgradeço primeiramente a Deus por ser sempre presente em minha vida, pois sem Ele nada disso seria possível. Agradeço também aos meus pais, Beto e Vera, e a minha irmã Eduarda, que sempre me incentivaram a lutar pelos meus sonhos mesmo quando pareciam impossíveis. Ao meu lindo companheiro, Lucas, por me dar suporte e força para seguir em frente em meio as adversidades. Ao meu orientador, Laécio, que foi indispensável durante esta jornada e no qual eu me inspiro e a minha amiga Luciana que compartilhou suas experiências comigo durante esse período. Agradeço também aos meus tios Oseias, Joana, Nenê, Cidinha, a minha vó Francisca e a todos meus familiares e amigos por todo apoio e torcida concedidos a mim.Agradeço também o apoio Ąnanceiro da agência de fomento Capes.vi ŞA mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original." Albert Einstein vii ResumoNeste trabalho estudamos sistemas de equações diferencias com parâmetros incertos e modelados por números fuzzy interativos através de duas abordagens distintas: a primeira via inclusão diferencial e a segunda via fuzziĄcação da solução determinística. Em ambos os casos a solução é fuzzy. Em seguida, a título de comparação, defuzziĄcamos a solução e a comparamos com a solução determinística. Notando que a operação produto é uma particular 𝑡-norma, propomos que a interação entre espécies (e/ou indivíduos) seja modelada por 𝑡-normas mais gerais. Neste caso, apesar da modelagem do sistema ser feita através de teoria de conjuntos fuzzy, as soluções dessas equações são determinísticas. A primeira abordagem é aplicada em um modelo para evolução de HIV positivo para populações em doença plenamente manifesta, enquanto a segunda é utilizada em modelos do tipo presa-predador de Lotka-Volterra e epidemiológico de transmissão direta.

No abstract

Fractional calculus has been widely used in mathematical modeling of evolutionary systems with memory effect on dynamics. The main interest of this work is to attest, through a statistical approach, how the hysteresis phenomenon, which describes a type of memory effect present in biological systems, can be treated by fractional calculus. We also analyse the contribution of the historical values of a function in the evaluation of fractional operators according to their order. In order to illustrate the efficiency of this non-integer order calculus, we consider the SIR (Susceptible-Infected-Recovered) compartmental model which is widely used in epidemiology. We employ this compartmental model to study the dynamics of the spread of Covid-19 in some countries, one version with memory and one without memory.

Fractional calculus has been widely used in mathematical modeling of evolutionary systems with memory effect on dynamics. The main interest of this work is to attest, through a statistical approach, how the hysteresis phenomenon, which describes a type of memory effect present in biological systems, can be treated by fractional calculus. We also analyse the contribution of the historical values of a function in the evaluation of fractional operators according to their order. In order to illustrate the efficiency of this non-integer order calculus, we consider the SIR (Susceptible-Infected-Recovered) compartmental model which is widely used in epidemiology. We employ this compartmental model to study the dynamics of the spread of Covid-19 in some countries, one version with memory and one without memory.