Generalized first class selectors for upper semi-continuous set-valued maps in Banach spaces

Hansell, R. W.; Oncina, L.

doi:10.1007/s10587-005-0010-4

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“…If a scattered function base for a map f can be constructed with sets which are differences of closed sets, then f enjoys properties which are close to measurability; in fact, it is Borel measurable when the domain space is, for instance, a complete metric space or a Gulko compact (see [24,23,22]). …”

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James boundaries and σ-fragmented selectors

2008

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Abstract. We study the boundary structure for w * -compact subsets of dual Banach spaces. To be more precise, for a Banach space X, 0 < ε < 1 and a subset T of the dual space X * such that S {B(t, ε) : t ∈ T } contains a James boundary for BX * we study different kinds of conditions on T , besides T being countable, which ensure thatWe analyze two different non-separable cases where the equality (SP) holds: (a) if J : X → 2 B X * is the duality mapping and there exists a σ-fragmented map f : X → X * such that B(f (x), ε) ∩ J(x) = ∅ for every x ∈ X, then (SP) holds for T = f (X) and in this case X is Asplund; (b) if T is weakly countably K-determined then (SP) holds, X * is weakly countably K-determined and moreover for every James boundary B of BX * we have BX * = co(B)· . Both approaches use Simons' inequality and ideas exploited by Godefroy in the separable case (i.e., when T is countable). While proving (a) we show that X is Asplund if, and only if, the duality mapping has an ε-selector, 0 < ε < 1, that sends separable sets into separable ones. A consequence is that the dual unit ball BX * is norm fragmented if, and only if, it is norm ε-fragmented for some fixed 0 < ε < 1. Our analysis is completed by a characterization of those Banach spaces (not necessarily separable) without copies of 1 via the structure of the boundaries of w * -compact sets of their duals. Several applications and complementary results are proved. Our results extend to the non-separable case results by Godefroy, Contreras-Payá and Rodé.

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James boundaries and σ-fragmented selectors

2008

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“…Let g ∈ M(X, Y ). It follows for example from [8] that g has a selection of the first Baire class, i.e., there is a (single-valued) function f : X → Y which is of the first Baire class (i.e., the pointwise limit of a sequence of continuous functions) such that f (x) ∈ g(x) for each x ∈ X.…”

Section: First We Note That C(x Y ) Is Not Always Dense In M(x Y )mentioning

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The convergence space of minimal USCO mappings

Anguelov

Kalenda

2009

Czech Math J

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A convergence structure generalizing the order convergence structure on the set of Hausdorff continuous interval functions is defined on the set of minimal usco maps. The properties of the obtained convergence space are investigated and essential links with the pointwise convergence and the order convergence are revealed. The convergence structure can be extended to a uniform convergence structure so that the convergence space is complete. The important issue of the denseness of the subset of all continuous functions is also addressed.

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“…En el presente capítulo aportamos tres resultados fundamentales sobre aplicaciones σ -fragmentables. En el teorema 3.1.7 relacionamos estas aplicaciones con límites de aplicaciones barely-continuas a trozos en la línea del teorema de Baire para funciones de la primera clase de Baire que tiene sus predecesores en M. Raja [73], R. Hansell [40] y [42]. En el teorema 3.2.17 caracterizaremos la σ -fragmentabilidad de un espacio de Banach a través de las coordenadas de su inmersión en c 0 (Γ) que deben de tener una propiedad de σ -fragmentabilidad uniforme, que llamaremos equi-σ -fragmentabilidad, por analogía con las familias equicontinuas.…”

Section: Fragmentabilidad Y σ -Fragmentabilidad De Aplicacionesunclassified

“…Profundizando más en este caso, el teorema 3.1.7 nos permite ahora probar el siguiente resultado [40] y [73], ver también [42]. DEMOSTRACIÓN: El teorema 3.1.7 nos da una sucesión {g n : Y → M} tales que para cada n podemos descomponer Y = ∞ m=1 Z n m siendo g n|Z n m barely continua m = 1, 2, .…”

Section: Aplicaciones Fragmentables Y σ -Fragmentablesunclassified

Índice de K-determinación de espacios topológicos y s-fragmentabilidad de aplicaciones

Guillermo¹

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Nuestra notación, terminología y definiciones básicas son estándar y se presentan entre las páginas xxi-xxv que siguen. En esta memoria se introducen y estudian ciertas cuestiones de topología que son aplicadas a espacios de funciones continuas, espacios de Banach y espacios localmente convexos. Siendo más concretos, los tres capítulos de la memoria se pueden resumir como sigue: Capitulo 1. Filtros y uscos en espacios topológicos. Estudiamos los conceptos de filtro compactoide y numerablemente compactoide tal y como se introducen en las definiciones 1.2.1 y 1.3.4: un filtro F en un espacio topológico se dice que es compactoide (resp. numerablemente compactoide) si todo ultrafiltro más fino que él converge (resp. si todo filtro de base numerable que lo corta tiene un punto de aglomeración). El estudio que hacemos sobre filtros compactoides y numerablemente compactoides se aplica para generar uscos (aplicaciones multivaluadas con valores compactos y superiormente semicontinuas) en dominios métricos, véase el teorema 1.6.1. Estos resultados sobre filtros también nos permiten obtener de forma sencilla los teoremas de Wallace, corolario 1.5.5 y de Kuratowski, corolario 1.7.7. Algunos de nuestros resultados aquí unifican y mejoran resultados en [12,23,21,70].Capitulo 2. Índice de K-determinación de espacios topológicos. En este segundo capítulo introducimos y estudiamos el índice de K-determinación Σ(Y ) de un espacio topológico Y : Definición 2.1.1. Llamamos índice de K-determinación de un espacio topológico Y , y lo denotamos por Σ(Y ), al cardinal más pequeño m para el cual existe un iv espacio métrico M de peso m y una aplicación multivaluada φ : M → 2 Y usco tal que Y = {φ (x) : x ∈ M}.Estudiamos el comportamiento de Σ con respecto a las operaciones habituales en espacios topológicos y lo relacionamos con otras funciones cardinal ampliamente estudiadas en topología, en particular, encontramos relaciones no triviales entre Σ(Y ), la tightness de C p (Y ) y el índice de monoliticidad de los compactos dees numerablemente determinado y nuestros resultados tienen, como caso particular, los resultados que eran conocidos para este último tipo de espacios; en particular, en espacios C(K) y espacios de Banach, extendemos un buen número de los resultados que M. Talagrand había demostrado en [77] para espacios de Banach débilmente K-analíticos y débilmente numerablemente determinados. El análisis realizado sobre filtros compactoides y numerablemente compactoides en el capítulo anterior, nos ha permitido en este capítulo intuir resultados y dar sus demostraciones, muchas veces, breves y elegantes (a nuestro juicio). Nos hemos ocupado de dar numerosas aplicaciones de los resultados establecidos. Destacamos el estudio que hacemos sobre la noción de Σ-grado de Hödel en la sección 2.8, así como las aplicaciones que damos a: (A) espacios localmente convexos en las secciones 2.7 y 2.9 que extienden resultados de [9, 15, 50]; (B) espacios uniformes en la sección 2.10 que extiende resultados de [14]. Siempre que nos ha sido posible, ...

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Generalized first class selectors for upper semi-continuous set-valued maps in Banach spaces

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James boundaries and σ-fragmented selectors

The convergence space of minimal USCO mappings

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