Generation of Gordon—Mills—Welch Sequences on the Base of Shift Registers

Abstract

Разработан алгоритм определения начальных состояний регистров сдвига, вхо-дящих в устройство формирования последовательностей Гордона-Миллса-Велча (ГМВ). Известно, что предпочтительность применения в системах связи ГМВ-последовательностей определяется их более высокой структурной скрыт-ностью по сравнению с М-последовательностями, однако основной проблемой при построении устройств формирования ГМВ-последовательностей на основе регистров сдвига является отсутствие в литературе алгоритмов определения их начальных состояний. Показано, что согласно предложенному алгоритму на-чальные состояния регистров сдвига определяются соотношением степеней корней полиномов h сi (x) и полинома исходной М-последовательности, на осно-ве которой формируется ГМВ-последовательность, и на практике вычисляются путем децимации символов исходной М-последовательности по индексу деци-мации, зависящему от соотношения степеней корней полиномов. Ключевые слова: последовательность с составным периодом, конечное поле, неприводимый и примитивный полином, регистр сдвига с линейными обрат-ными связями.Последовательности Гордона-Миллса-Велча (ГМВ) применяются в современных системах связи благодаря более высокой структурной скрытности по сравнению с М-после-довательностями, которые также обладают одноуровневой периодической автокорреляционной функцией [1][2][3][4][5].Настоящая статья продолжает цикл публикаций, посвященных разработке алгоритмов формирования ГМВ-последовательностей и анализу корреляционных и структурных свойств этих последовательностей [6,7]. В статье [6] разработан алгоритм формирования ГМВ-последовательностей, основан-ный на матричном представлении последовательностей с составным периодом и использова-нии свойств проверочных полиномов, определяемых над конечными полями Галуа.В работе [7] представлен алгоритм формирования проверочных полиномов ГМВ-последовательностей, основанный на использовании структурных свойств конечных полей с двойным расширением. Также получены полные перечни проверочных полиномов для двоичных ГМВ-последовательностей с периодами N=63, 255 и для троичных ГМВ-последо-вательностей с N=80.Известны различные подходы к разработке устройств формирования ГМВ-после-довательностей. Отличительной особенностью большинства подходов является то, что в со-став реализуемых на их основе устройств формирования входят нелинейные элементы. На-пример, в работе [8] представлен способ, основанный на представлении ГМВ-последо-вательностей с помощью функции следа.Использование проверочных полиномов ГМВ-последовательностей позволяет реализо-вать устройства их формирования с помощью регистров сдвига с линейными обратными свя-зями (РС ЛОС).Структура проверочного полинома ГМВ-последовательности h ГМВ (x), представляющего собой для конечных полей GF(р S ) (p -характеристика поля, S -натуральное число) произ-

Formation and Processing of GMW-Similar Sequences Based on the Dual Basis in Digital Information Transfer Systems

“…Известны различные способы формирования ГМВ-последовательностей. Для конечных полей c двойным расширением GF[(2 n ) k ] при n = 2 известен алгоритм формирования ГМВ-последовательностей с периодом N = 2 nk − 1 [10,13], основанный на матричном представлении базисной М-последовательности с аналогичным периодом. При использовании данного алгоритма для формирования каждой ГМВ-последовательности базисная М-последовательность представляется в виде квазиквадратной матрицы, в которой затем выполняется замена столбцов, являющихся различными циклическими сдвигами М-последовательности с более коротким периодом J = 2 n − 1, на соответствующие сдвиги другой М-последовательности с таким же периодом.…”

“…Другим способом является формирование ГМВпоследовательности на основе регистров сдвига [14,17]. Процедура формирования ГМВ-последовательности с периодом N = 63 на основе двух регистров сдвига очень похожа на процедуру формирования последовательностей Голда с аналогичным периодом.…”

“…Тогда столбцы матрицы FМП будут представлять собой МП1 с характеристическим многочленом h1(x), при этом каждой из девяти МП1 будет соответствовать определенная фаза в виде элемента λ j , принадлежащего подполю GF1(2 3 ), порожденному многочленом (13). Ненулевые элементы λ j = b0 + b1λ + b2λ 2 , j = 0, 1, 2, …, 6, подполя GF1(2 3 ) и их векторная запись показаны в таблице 1.…”