Generation of New Exactly Solvable Potentials of Position-dependent Mass Schr\"odinger Equation by Extended Transformation Method

Abstract

We discuss a Brane World scenario where we live on a 3-brane with massive gravity in the infinite-volume bulk. The bulk graviton can be much heavier than the inverse Hubble size, as heavy as the bulk Planck scale, whose lower bound is roughly the inverse of 0.1 mm. The 4D Einstein-Hilbert term on the brane shields the brane matter from both strong bulk gravity and large bulk graviton mass. Gravity on the brane does not become higher-dimensional at large distances. Instead, at distance scales above the bulk Planck length, gravity on the brane behaves as 4D gravity with small graviton mass roughly of the order of or below the inverse Hubble size. Unlike the massless case, with massive gravity in the bulk one can have: (i) 4D tensor structure on a codimension-1 brane; and (ii) no infrared tachyon for smoothed-out higher codimension branes. The effects of the brane dynamics on the bulk are exponentially suppressed away from the brane. One consequence is that there are no "self-accelerated" solutions. In codimension-2 cases, there exist nonsingular solutions with a flat 3-brane † This address is used by the author for no purpose other than to indicate his professional affiliation as is customary in scientific publications. In particular, the contents of this paper are limited to theoretical physics, have no commercial or other such value, are not intended as an investment, legal, tax or any other such advice, and in no way represent views of Quantigic Solutions LLC, the website www.quantigic.com or any of their other affiliates.(1671) 1672 Z. Kakushadze for a continuous positive range of the brane tension. In higher codimension cases, as in the massless case, higher curvature terms are required to obtain such solutions.

Точно Решаемые Потенциалы И Решения Для Связанных Состояний Уравнения Шредингера В $D$-Мерном Пространстве С Зависящей От Координат Массой

“…Это упорядочение Жу-Кремера. Мы рассматрива-ем только квантовые системы, которые характеризуются центральным потенциалом и радиально-симметричной массовой функцией, и приходим к выводу, что в этом случае наш метод естественным образом отдает предпочтение упорядочению неод-нозначностей Жу-Кремера [12].…”

“…Изучение квантовых систем с зависящей от координат массой привлекает внима-ние ученых [1]- [12]. Данное направление развивается в связи с его широким при-менением в физике конденсированного состояния, в науке о материалах, в ядерной 118 Х. РАЙБОНГШИ физике и т. д. Особое применение уравнение Шредингера с зависящей от координат массой нашло в исследовании электронных свойств полупроводников [13], в теори-ях квантовых точек, квантовых ям [14], [15] и квантовых жидкостей [16], в ядерной задаче многих тел [17] и пр.…”

“…Для решения уравнения Шредин-гера с массой, зависящей от координат, применяются различные методы, в ли-тературе можно найти каноническое точечное преобразование [9], [18]- [22], метод Никифорова-Уварова [23]- [25], суперсимметричный подход [26], [27], метод квадра-тичной алгебры [28], аналитический метод [29], поиск решений в виде ряда [30], ме-тоды преобразований Дарбу [31], [32], сплетающих операторов [33], восстановления волновых пакетов [34], -разложение [35], метод расширенного преобразования [12] и т. д. Во всех этих случаях волновые функции выражаются через классические ортогональные полиномы (КОП). Фактически оказывается, что КОП играют важ-ную роль с самого зарождения квантовой механики, поскольку через эти полиномы выражаются собственные функции связанных состояний.…”

“…Мы применяем метод расширенного преобразования [12], [36], включающий в себя преобразование координат и последующее функциональное преобразование, к диф-ференциальному уравнению второго порядка, которому подчиняются КОП. Основ-ным является преобразование координат,…”

Exact solutions of the position-dependent-effective mass Schrödinger equation

“…[42][43][44] We can cite the point-canonical transformation, 24,25,45,46 Nikiforov-Uvarov (NU) method [45][46][47][48][49] Green's function, 50 the Heun equation, 51 the potential algebra 52 and the supersymmetric approach 53,54 as analytical methods to generate solutions for the PDEM Schrödinger equation. However, the exact solutions are limited to a small set of systems.…”