Groenewold-von Neumann product via Segal-Bargmann transform

Abstract

Abstract. Using standard techniques from geometric quantization, we rederive the product of functions on R 2 which was first introduced by von Neumann and later reintroduced by Groenewold and which is the integral version of the Moyal product. More specifically, by pairing the diagonal real polarization on the pair groupoid R 2 × R 2 with its standard holomorphic polarization, we obtain the well-known Segal-Bargmann transform in a rotated and scaled (and half-conjugated) form. Together with a convolution of functions in the Segal-Bargmann space, which is a natural deformation of the usual convolution of functions on the pair groupoid, this defines the Groenewold-von Neumann product on L 2 (R 2 ). Keywords: Geometric quantization, star product, Segal-Bargmann transform, Fock spaces. MSC2010: 53D50, 53D55, 30H20. Producto de Groenewold-von Neumann mediante una transformada de Segal-BargmannResumen. Usando técnicas de cuantización geométrica, obtenemos el producto de funciones en R 2 , primeramente introducido por von Neumann y posteriormente reintroducido por Groenewold, el cual es la versión integral del producto de Moyal-Weyl. De forma más específica, por el empareamiento de polarizaciones reales en el par grupoide R 2 × R 2 con sus polarizaciones holomorfas estándares, obtenemos una transformada de Segal-Bargamann deformada (por rotación y traslación). Junto con una convolución de funciones en el espacio de Segal-Bargmann, la cual es una deformación natural de la convolución de funciones en el par grupoide, se obtiene el producto de Groenewold-von Neumann en L 2 (R 2 ). Palabras clave: Cuantización geométrica, producto estrella, transformada de Segal-Bargmann, espacios Fock.

Strict Deformation Quantization via Geometric Quantization in the Bieliavsky Plane

“…The integral version of the Weyl-Moyal product of functions on ℝ 2n , also known as the Groenewold-von Neumann product, has been obtained and reobtained in various ways since the original work of von Neumann [4]. But in [5], Gracia-Bondia and Varilly rederived this product via geometric quantization (see [6] for example), using the pairing of two nontransversal real polarizations on the pair groupoid ℝ 2n × ℝ 2n one being the polarization F V described above.…”