Hecke C*-algebras and semi-direct products

Abstract

Abstract. We analyze Hecke pairs (G, H) and the associated Hecke algebra H when G is a semidirect product N ⋊ Q and H = M ⋊R for subgroups M ⊂ N and R ⊂ Q with M normal in N . Our main result shows that when (G, H) coincides with its Schlichting completion and R is normal in Q, the closure of H in C * (G) is Morita-Rieffel equivalent to a crossed product I ⋊ β Q/R, where I is a certain ideal in the fixed-point algebra C * (N ) R . Several concrete examples are given illustrating and applying our techniques, including some involving subgroups of GL(2, K) acting on K 2 , whereIn particular we look at the ax + b-group of a quadratic extension of K.

Endomorphisms of spaces of virtual vectors fixed by a discrete group

“…The main problem we are approaching in this paper is the analysis of the unitary representation π p , induced by the unitary representation π on the Hilbert space H p obtained by taking the inductive limit of the Hilbert spaces H Γ 0 , Γ 0 P S. The content of the classical Ramanujan-Petersson Problem ( [24], [46], [6]) is transformed into a harmonic analysis problem, concerning the weak unitary containment of the representation π p in the unitary representation obtained by restriction to G, of the left regular representation of the Schlichting completion ( [48], [26]) of G with respect to the subgroups in the family S. The representation π p is determined by the associated Hecke operators ( [23], [24], [45]) at all levels Γ 0 . The Hecke operators are "block-matrix coefficients" of the associated unitary representation π p .…”

“…We prove that the range of this projection (which is a subspace of L) is unitarily equivalent to the Hilbert space of Γ-invariant vectors. Moreover, the same unitary equivalence will transform the Hecke operator corresponding to a double coset rΓσΓs into the sum in formula (26).…”

“…The notation¨p over π and H, stands for the above completion operation, consisting into passing from π to the unitary representation π p on Hilbert space completion of the reunion of the space of Γ 0 invariant vectors, Γ 0 P S. We recall that the Schlichting completion G (see e.g. [48], [51], [26], [30]) of the discrete group G with respect to the subgroups in S is the locally compact, totally disconnected group obtained as the disjoint union of the double cosets KσK, with the obvious multiplication relation, where ΓσΓ runs over a set of representatives for double cosets for Γ in G (see also [4], [7], [21]).…”

Endomorphisms of spaces of virtual vectors fixed by a discrete group

“…Основная проблема, которую мы рассматриваем в этой работе, -изучение унитарного представления π p , индуцированного унитарным представлением π на гильбертовом пространстве H p , полученном путем взятия индуктивного предела гильбертовых пространств H Γ0 , Γ 0 ∈ S . Содержание классической проблемы Рамануджана-Петерссона [24], [47], [6] преобразуется в проблему гармонического анализа о слабом унитарном включении представления π p в унитарное представление, полученное ограничением на G левого регулярного представления пополнения Шлихтинга [48], [26] группы G относительно подгрупп из семейства S . Представление π p определяется ассоциированными операторами Гекке [23], [24], [46] на всех уровнях Γ 0 .…”

“…Обозначение • p над π означает вышеупомянутую операцию пополнения, состоящую в переходе от π к унитарному представлению π p на пополненном гильбертовом пространстве объединения пространств Γ 0 -инвариантных векторов, Γ 0 ∈ S . Напомним, что пополнение Шлихтинга G (см., например, [48], [51], [26], [29]) дискретной группы G относительно подгрупп из S является локально компактной вполне несвязной группой, полученной как объединение непересекающихся двойных смежных классов KσK, с очевидным отношением умножения, где ΓσΓ пробегает множество представителей двойных смежных классов для Γ в G (см. также [4], [7], [21]).…”