Hopf saddle-node bifurcation for fixed points of 3D-diffeomorphisms: Analysis of a resonance ‘bubble’

Abstract

The dynamics near a Hopf-saddle-node bifurcation of fixed points of diffeomorphisms is analysed by means of a case study: a two-parameter model map G is constructed, such that at the central bifurcation the derivative has two complex conjugate eigenvalues of modulus one and one real eigenvalue equal to 1. To investigate the effect of resonances, the complex eigenvalues are selected to have a 1:5 resonance. It is shown that, near the origin of the parameter space, the family G has two secondary Hopf-saddle-node bifurcations of period five points. A cone-like structure exists in the neighbourhood, formed by two surfaces of saddle-node and a surface of Hopf bifurcations. Quasi-periodic bifurcations of an invariant circle, forming a frayed boundary, are numerically shown to occur in model G. Along such Cantor-like boundary, an intricate bifurcation structure is detected near a 1:5 resonance gap. Subordinate quasi-periodic bifurcations are found nearby, suggesting the occurrence of a cascade of quasi-periodic bifurcations.

Resonance and Fractal Geometry

“…As a continuation of the above programme, we now consider the Hopf saddle-node (or fold Hopf) bifurcation for diffeomorphisms [35,36,41], in which the central singularity is a fixed point of a 3-dimensional diffeomorphism, such that the eigenvalues of the linear part at bifurcation are 1 and e 2π iα , where e 2πniα = 1 for n = 1, 2, 3 and 4,…”

“…For a detailed, computer-assisted bifurcation analysis of the 2 : 5 resonance 'bubble' we refer to [35]. Compare with earlier work of Chenciner [45][46][47].…”

“…Particularly in the latter case, in the left half of the diagram, we are dealing with the Arnold resonance web, for a detailed analysis see [36].…”

Landau–Hopf scenario in the ensemble of interacting oscillators

“…Сейчас этот недостаток в определенной мере воспол-няется (см., например, [14][15][16]). Однако на практике при проведении вычислений типы би-фуркаций квазипериодических режимов для достаточно сложных систем приходится иден-тифицировать по характерной зависимости показателей Ляпунова от параметра [14][15][16].В задачах, связанных с ансамблями осцилляторов, проявляются две основных бифур-кации квазипериодических режимов. Одна из них -это квазипериодическая седло-узловая бифуркация, или седло-узловая бифуркация торов.…”

“…Это важный атрибут мягкой квазипериодической бифуркации Неймарка -Сакера [14]. При квазипериодической седло-узловой бифуркации показатели ведут себя иначе [14,15].При дальнейшем увеличении параметра оставшиеся показатели изменяются аналогич-ным образом, так что в точке QN S 2 в результате второй квазипериодической бифуркации Неймарка -Сакера рождается четырехмерный тор, а в точке QN S 3 -пятимерный.Рисунки 3 и 4 иллюстрируют развитие сценария Ландау -Хопфа в такой системе. На рисунке 3 показана эволюция фазовых портретов осцилляторов, наблюдающаяся при уменьшении параметра диссипации.…”