Hypercohomologie des complexes de tores et paramétrisation de Langlands

Suites de Poitou-Tate pour les complexes de tores à deux termes

“…jK − − → Q/Z où j K est l'invariant donné par la théorie du corps de classes local. On a alors le théorème de dualité locale suivant (voir aussi [20]) :…”

“…Pour cela, on utilise la section 6 de [13] : on considère les trois suites exactes suivantes de complexes de Γ k -modules : défini explicitement par le cup-produit H i−1 (k, C(C))×H 2−i (k, C(k)) → H 2 (k, C * ) ∼ = Q/Z. Or on peut identifier les deux groupes apparaissant dans l'accouplement (20) : Ker H i (k, C(k)) → H i (k, C(A)) ∼ = X i (k, C) et Ker H 2−i (k, C(k)) → H 2−i (k, C(A)) ∼ = X 2−i (k, C). Et la preuve de la proposition 6.1 de [13] (adaptée au contexte des complexes de tores) assure que les accouplements (20) coïncident avec les accouplements des théorèmes 5.7, 5.12 et 5.14.…”

“…Or on peut identifier les deux groupes apparaissant dans l'accouplement (20) : Ker H i (k, C(k)) → H i (k, C(A)) ∼ = X i (k, C) et Ker H 2−i (k, C(k)) → H 2−i (k, C(A)) ∼ = X 2−i (k, C). Et la preuve de la proposition 6.1 de [13] (adaptée au contexte des complexes de tores) assure que les accouplements (20) coïncident avec les accouplements des théorèmes 5.7, 5.12 et 5.14. Cette identification donne en particulier une description explicite des accouplements apparaissant dans ces théorèmes, en termes de cup-produits en cohomologie galoisienne.…”

“…L'objectif de ce texte est de démontrer de nouveaux théorèmes de dualité, locale et globale, pour l'hypercohomologie des complexes de tores de longueur 2, qui généralisent notamment les résultats pour les tores et les modules finis rappelés plus haut. On retrouve en particulier (par une méthode différente) certains des résultats de l'appendice de [16], ainsi que des résultats de Nyssen (voir [20]). Notons cependant que les résultats obtenus dans ce texte (et notamment la suite de Poitou-Tate du théorème 6.1, cruciale en vue des applications à l'approximation forte dans les groupes connexes) ne se déduisent pas des résultats de [16] et [20].…”

“…On retrouve en particulier (par une méthode différente) certains des résultats de l'appendice de [16], ainsi que des résultats de Nyssen (voir [20]). Notons cependant que les résultats obtenus dans ce texte (et notamment la suite de Poitou-Tate du théorème 6.1, cruciale en vue des applications à l'approximation forte dans les groupes connexes) ne se déduisent pas des résultats de [16] et [20]. Ces résultats de dualité ont notamment des applications pour le calcul de la cohomologie galoisienne des groupes linéaires connexes : on citera par exemple les travaux de Borovoi (notamment [3] et [4] section 4), ceux de Kottwitz et Shelstad (voir [16]), et les résultats de l'auteur dans [6].…”